特殊函数 (scipy.special)#

下方几乎所有函数都接受 NumPy 数组作为输入参数，也接受单个数字。这意味着它们遵循广播和自动数组循环规则。技术上，它们是 NumPy 通用函数。不接受 NumPy 数组的函数在章节描述中会有警告标记。

另请参阅

scipy.special.cython_special – 特殊函数的类型化 Cython 版本

错误处理#

通过返回 NaN 或其他适当值来处理错误。某些特殊函数例程在发生错误时可能会发出警告或引发异常。默认情况下，除了内存分配错误（这会导致引发异常）之外，此功能是禁用的。提供了以下函数来查询和控制当前错误处理状态。

geterr()

获取当前特殊函数错误处理方式。

seterr(**kwargs)

设置特殊函数错误的处理方式。

errstate(**kwargs)

特殊函数错误处理的上下文管理器。

SpecialFunctionWarning

特殊函数可能发出的警告。

SpecialFunctionError

特殊函数可能引发的异常。

可用函数#

艾里函数#

airy(z[, out])

艾里函数及其导数。

airye(z[, out])

指数缩放的艾里函数及其导数。

ai_zeros(nt)

计算艾里函数 Ai 及其导数的 nt 个零点和值。

bi_zeros(nt)

计算艾里函数 Bi 及其导数的 nt 个零点和值。

itairy(x[, out])

艾里函数的积分

椭圆函数和积分#

ellipj(u, m[, out])

雅可比椭圆函数

ellipk(m[, out])

第一类完全椭圆积分。

ellipkm1(p[, out])

在 m = 1 附近的第一类完全椭圆积分

ellipkinc(phi, m[, out])

第一类不完全椭圆积分

ellipe(m[, out])

第二类完全椭圆积分

ellipeinc(phi, m[, out])

第二类不完全椭圆积分

elliprc(x, y[, out])

退化对称椭圆积分。

elliprd(x, y, z[, out])

第二类对称椭圆积分。

elliprf(x, y, z[, out])

第一类完全对称椭圆积分。

elliprg(x, y, z[, out])

第二类完全对称椭圆积分。

elliprj(x, y, z, p[, out])

第三类对称椭圆积分。

贝塞尔函数#

jv(v, z[, out])

实数阶和复数自变量的第一类贝塞尔函数。

jve(v, z[, out])

阶数为 v 的指数缩放第一类贝塞尔函数。

yn(n, x[, out])

整数阶和实数自变量的第二类贝塞尔函数。

yv(v, z[, out])

实数阶和复数自变量的第二类贝塞尔函数。

yve(v, z[, out])

实数阶的指数缩放第二类贝塞尔函数。

kn(n, x[, out])

整数阶 n 的第二类修正贝塞尔函数

kv(v, z[, out])

实数阶 v 的第二类修正贝塞尔函数

kve(v, z[, out])

指数缩放的第二类修正贝塞尔函数。

iv(v, z[, out])

实数阶的第一类修正贝塞尔函数。

ive(v, z[, out])

指数缩放的第一类修正贝塞尔函数。

hankel1(v, z[, out])

第一类汉克尔函数

hankel1e(v, z[, out])

指数缩放的第一类汉克尔函数

hankel2(v, z[, out])

第二类汉克尔函数

hankel2e(v, z[, out])

指数缩放的第二类汉克尔函数

wright_bessel(a, b, x[, out])

赖特广义贝塞尔函数。

log_wright_bessel(a, b, x[, out])

赖特广义贝塞尔函数的自然对数，参见 wright_bessel。

以下函数不接受 NumPy 数组（它不是通用函数）

lmbda(v, x)

Jahnke-Emden Lambda 函数，Lambdav(x)。

贝塞尔函数的零点#

以下函数不接受 NumPy 数组（它们不是通用函数）

jnjnp_zeros(nt)

计算整数阶贝塞尔函数 Jn 和 Jn' 的零点。

jnyn_zeros(n, nt)

计算贝塞尔函数 Jn(x), Jn'(x), Yn(x), 和 Yn'(x) 的 nt 个零点。

jn_zeros(n, nt)

计算整数阶贝塞尔函数 Jn 的零点。

jnp_zeros(n, nt)

计算整数阶贝塞尔函数导数 Jn' 的零点。

yn_zeros(n, nt)

计算整数阶贝塞尔函数 Yn(x) 的零点。

ynp_zeros(n, nt)

计算整数阶贝塞尔函数导数 Yn'(x) 的零点。

y0_zeros(nt[, complex])

计算贝塞尔函数 Y0(z) 的 nt 个零点，以及每个零点处的导数。

y1_zeros(nt[, complex])

计算贝塞尔函数 Y1(z) 的 nt 个零点，以及每个零点处的导数。

y1p_zeros(nt[, complex])

计算贝塞尔导数 Y1'(z) 的 nt 个零点，以及每个零点处的值。

常见贝塞尔函数的更快版本#

j0(x[, out])

0 阶第一类贝塞尔函数。

j1(x[, out])

1 阶第一类贝塞尔函数。

y0(x[, out])

0 阶第二类贝塞尔函数。

y1(x[, out])

1 阶第二类贝塞尔函数。

i0(x[, out])

0 阶修正贝塞尔函数。

i0e(x[, out])

0 阶指数缩放修正贝塞尔函数。

i1(x[, out])

1 阶修正贝塞尔函数。

i1e(x[, out])

1 阶指数缩放修正贝塞尔函数。

k0(x[, out])

0 阶第二类修正贝塞尔函数，\(K_0\)。

k0e(x[, out])

0 阶指数缩放修正贝塞尔函数 K

k1(x[, out])

1 阶第二类修正贝塞尔函数，\(K_1(x)\)。

k1e(x[, out])

1 阶指数缩放修正贝塞尔函数 K

贝塞尔函数的积分#

itj0y0(x[, out])

0 阶第一类贝塞尔函数的积分。

it2j0y0(x[, out])

与 0 阶第一类贝塞尔函数相关的积分。

iti0k0(x[, out])

0 阶修正贝塞尔函数的积分。

it2i0k0(x[, out])

与 0 阶修正贝塞尔函数相关的积分。

besselpoly(a, lmb, nu[, out])

第一类贝塞尔函数的加权积分。

贝塞尔函数的导数#

jvp(v, z[, n])

计算第一类贝塞尔函数的导数。

yvp(v, z[, n])

计算第二类贝塞尔函数的导数。

kvp(v, z[, n])

计算实数阶修正贝塞尔函数 Kv(z) 的导数

ivp(v, z[, n])

计算第一类修正贝塞尔函数的导数。

h1vp(v, z[, n])

计算汉克尔函数 H1v(z) 对 z 的导数。

h2vp(v, z[, n])

计算汉克尔函数 H2v(z) 对 z 的导数。

球贝塞尔函数#

spherical_jn(n, z[, derivative])

第一类球贝塞尔函数或其导数。

spherical_yn(n, z[, derivative])

第二类球贝塞尔函数或其导数。

spherical_in(n, z[, derivative])

第一类修正球贝塞尔函数或其导数。

spherical_kn(n, z[, derivative])

第二类修正球贝塞尔函数或其导数。

黎卡提-贝塞尔函数#

以下函数不接受 NumPy 数组（它们不是通用函数）

riccati_jn(n, x)

计算第一类黎卡提-贝塞尔函数及其导数。

riccati_yn(n, x)

计算第二类黎卡提-贝塞尔函数及其导数。

斯特鲁夫函数#

struve(v, x[, out])

斯特鲁夫函数。

modstruve(v, x[, out])

修正斯特鲁夫函数。

itstruve0(x[, out])

0 阶斯特鲁夫函数的积分。

it2struve0(x[, out])

与 0 阶斯特鲁夫函数相关的积分。

itmodstruve0(x[, out])

0 阶修正斯特鲁夫函数的积分。

原始统计函数#

另请参阅

scipy.stats: 这些函数的友好版本。

二项分布#

bdtr(k, n, p[, out])

二项分布累积分布函数。

bdtrc(k, n, p[, out])

二项分布生存函数。

bdtri(k, n, y[, out])

关于 p 的 bdtr 的反函数。

bdtrik(y, n, p[, out])

关于 k 的 bdtr 的反函数。

bdtrin(k, y, p[, out])

关于 n 的 bdtr 的反函数。

Beta 分布#

btdtria(p, b, x[, out])

关于 a 的 betainc 的反函数。

btdtrib(a, p, x[, out])

关于 b 的 betainc 的反函数。

F 分布#

fdtr(dfn, dfd, x[, out])

F 累积分布函数。

fdtrc(dfn, dfd, x[, out])

F 生存函数。

fdtri(dfn, dfd, p[, out])

F 分布的第 p 个分位数。

fdtridfd(dfn, p, x[, out])

相对于 dfd 的 fdtr 的反函数

伽马分布#

gdtr(a, b, x[, out])

伽马分布累积分布函数。

gdtrc(a, b, x[, out])

伽马分布生存函数。

gdtria(p, b, x[, out])

关于 a 的 gdtr 的反函数。

gdtrib(a, p, x[, out])

关于 b 的 gdtr 的反函数。

gdtrix(a, b, p[, out])

关于 x 的 gdtr 的反函数。

负二项分布#

nbdtr(k, n, p[, out])

负二项累积分布函数。

nbdtrc(k, n, p[, out])

负二项生存函数。

nbdtri(k, n, y[, out])

返回负二项累积分布函数 y = nbdtr(k, n, p) 关于参数 p 的反函数。

nbdtrik(y, n, p[, out])

负二项分位数函数。

nbdtrin(k, y, p[, out])

关于 n 的 nbdtr 的反函数。

非中心 F 分布#

ncfdtr(dfn, dfd, nc, f[, out])

非中心 F 分布的累积分布函数。

ncfdtridfd(dfn, p, nc, f[, out])

计算非中心 F 分布的自由度（分母）。

ncfdtridfn(p, dfd, nc, f[, out])

计算非中心 F 分布的自由度（分子）。

ncfdtri(dfn, dfd, nc, p[, out])

非中心 F 分布 CDF 关于 f 的反函数。

ncfdtrinc(dfn, dfd, p, f[, out])

计算非中心 F 分布的非中心参数。

非中心 t 分布#

nctdtr(df, nc, t[, out])

非中心 t 分布的累积分布函数。

nctdtridf(p, nc, t[, out])

计算非中心 t 分布的自由度。

nctdtrit(df, nc, p[, out])

非中心 t 分布的逆累积分布函数。

nctdtrinc(df, p, t[, out])

计算非中心 t 分布的非中心参数。

正态分布#

nrdtrimn(p, std, x[, out])

在给定其他参数的情况下计算正态分布的均值。

nrdtrisd(mn, p, x[, out])

在给定其他参数的情况下计算正态分布的标准差。

ndtr(x[, out])

标准正态分布的累积分布。

log_ndtr(x[, out])

高斯累积分布函数的对数。

ndtri(y[, out])

关于 x 的 ndtr 的反函数

ndtri_exp(y[, out])

关于 x 的 log_ndtr 的反函数。

泊松分布#

pdtr(k, m[, out])

泊松累积分布函数。

pdtrc(k, m[, out])

泊松生存函数

pdtri(k, y[, out])

关于 m 的 pdtr 的反函数

pdtrik(p, m[, out])

关于 k 的 pdtr 的反函数。

学生 t 分布#

stdtr(df, t[, out])

学生 t 分布累积分布函数

stdtridf(p, t[, out])

关于 df 的 stdtr 的反函数

stdtrit(df, p[, out])

学生 t 分布的第 p 个分位数。

卡方分布#

chdtr(v, x[, out])

卡方累积分布函数。

chdtrc(v, x[, out])

卡方生存函数。

chdtri(v, p[, out])

关于 x 的 chdtrc 的反函数。

chdtriv(p, x[, out])

关于 v 的 chdtr 的反函数。

非中心卡方分布#

chndtr(x, df, nc[, out])

非中心卡方累积分布函数

chndtridf(x, p, nc[, out])

关于 df 的 chndtr 的反函数

chndtrinc(x, df, p[, out])

关于 nc 的 chndtr 的反函数

chndtrix(p, df, nc[, out])

关于 x 的 chndtr 的反函数

柯尔莫哥洛夫分布#

smirnov(n, d[, out])

柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫互补累积分布函数

smirnovi(n, p[, out])

smirnov 的反函数

kolmogorov(y[, out])

柯尔莫哥洛夫分布的互补累积分布（生存函数）函数。

kolmogi(p[, out])

柯尔莫哥洛夫分布的逆生存函数

Box-Cox 变换#

boxcox(x, lmbda[, out])

计算 Box-Cox 变换。

boxcox1p(x, lmbda[, out])

计算 1 + x 的 Box-Cox 变换。

inv_boxcox(y, lmbda[, out])

计算 Box-Cox 变换的逆。

inv_boxcox1p(y, lmbda[, out])

计算 Box-Cox 变换的逆。

S 型函数#

logit(x[, out])

用于 ndarray 的 Logit 通用函数。

expit(x[, out])

Expit（又称。

log_expit(x[, out])

逻辑 S 型函数的对数。

杂项#

tklmbda(x, lmbda[, out])

图基 Lambda 分布的累积分布函数。

owens_t(h, a[, out])

欧文 T 函数。

信息论函数#

entr(x[, out])

逐元素计算熵的函数。

rel_entr(x, y[, out])

逐元素计算相对熵的函数。

kl_div(x, y[, out])

逐元素计算 Kullback-Leibler 散度的函数。

huber(delta, r[, out])

Huber 损失函数。

pseudo_huber(delta, r[, out])

伪 Huber 损失函数。

误差函数和菲涅耳积分#

erf(z[, out])

返回复数自变量的误差函数。

erfc(x[, out])

互补误差函数，1 - erf(x)。

erfcx(x[, out])

缩放互补误差函数，exp(x**2) * erfc(x)。

erfi(z[, out])

虚误差函数，-i erf(i z)。

erfinv(y[, out])

误差函数的逆。

erfcinv(y[, out])

互补误差函数的逆。

wofz(z[, out])

Faddeeva 函数

dawsn(x[, out])

Dawson 积分。

fresnel(z[, out])

菲涅耳积分。

fresnel_zeros(nt)

计算正弦和余弦菲涅耳积分 S(z) 和 C(z) 的 nt 个复数零点。

modfresnelp(x[, out])

修正菲涅耳正积分

modfresnelm(x[, out])

修正菲涅耳负积分

voigt_profile(x, sigma, gamma[, out])

Voigt 剖面。

以下函数不接受 NumPy 数组（它们不是通用函数）

erf_zeros(nt)

计算第一象限中按绝对值排序的前 nt 个零点。

fresnelc_zeros(nt)

计算余弦菲涅耳积分 C(z) 的 nt 个复数零点。

fresnels_zeros(nt)

计算正弦菲涅耳积分 S(z) 的 nt 个复数零点。

勒让德函数#

legendre_p(n, z, *[, diff_n])

第一类勒让德多项式。

legendre_p_all(n, z, *[, diff_n])

直至指定阶数 n 的所有第一类勒让德多项式。

assoc_legendre_p(n, m, z, *[, branch_cut, ...])

第一类伴随勒让德多项式。

assoc_legendre_p_all(n, m, z, *[, ...])

直至指定阶数 n 和次序 m 的所有第一类伴随勒让德多项式。

sph_legendre_p(n, m, theta, *[, diff_n])

第一类球勒让德多项式。

sph_legendre_p_all(n, m, theta, *[, diff_n])

直至指定阶数 n 和次序 m 的所有第一类球勒让德多项式。

sph_harm_y(n, m, theta, phi, *[, diff_n])

球谐函数。

sph_harm_y_all(n, m, theta, phi, *[, diff_n])

直至指定阶数 n 和次序 m 的所有球谐函数。

以下函数正在被弃用，取而代之的是上方提供了更灵活和一致接口的函数。

lpmv(m, v, x[, out])

整数阶和实数阶的伴随勒让德函数。

sph_harm(m, n, theta, phi[, out])

计算球谐函数。

clpmn(m, n, z[, type])

复数自变量的第一类伴随勒让德函数。

lpn(n, z)

第一类勒让德函数。

lqn(n, z)

第二类勒让德函数。

lpmn(m, n, z)

第一类伴随勒让德函数序列。

lqmn(m, n, z)

第二类伴随勒让德函数序列。

椭球谐函数#

ellip_harm(h2, k2, n, p, s[, signm, signn])

椭球谐函数 E^p_n(l)

ellip_harm_2(h2, k2, n, p, s)

椭球谐函数 F^p_n(l)

ellip_normal(h2, k2, n, p)

椭球谐函数归一化常数 gamma^p_n

正交多项式#

以下函数评估正交多项式的值

assoc_laguerre(x, n[, k])

计算 n 阶 k 次的广义（伴随）拉盖尔多项式。

eval_legendre(n, x[, out])

在给定点评估勒让德多项式。

eval_chebyt(n, x[, out])

在给定点评估第一类切比雪夫多项式。

eval_chebyu(n, x[, out])

在给定点评估第二类切比雪夫多项式。

eval_chebyc(n, x[, out])

在给定点评估 [-2, 2] 上的第一类切比雪夫多项式。

eval_chebys(n, x[, out])

在给定点评估 [-2, 2] 上的第二类切比雪夫多项式。

eval_jacobi(n, alpha, beta, x[, out])

在给定点评估雅可比多项式。

eval_laguerre(n, x[, out])

在给定点评估拉盖尔多项式。

eval_genlaguerre(n, alpha, x[, out])

在给定点评估广义拉盖尔多项式。

eval_hermite(n, x[, out])

在给定点评估物理学家的埃尔米特多项式。

eval_hermitenorm(n, x[, out])

在给定点评估概率论学家的（归一化）埃尔米特多项式。

eval_gegenbauer(n, alpha, x[, out])

在给定点评估盖根鲍尔多项式。

eval_sh_legendre(n, x[, out])

在给定点评估移位勒让德多项式。

eval_sh_chebyt(n, x[, out])

在给定点评估移位第一类切比雪夫多项式。

eval_sh_chebyu(n, x[, out])

在给定点评估移位第二类切比雪夫多项式。

eval_sh_jacobi(n, p, q, x[, out])

在给定点评估移位雅可比多项式。

以下函数计算正交多项式的根和正交权重

roots_legendre(n[, mu])

高斯-勒让德正交。

roots_chebyt(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第一类）正交。

roots_chebyu(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第二类）正交。

roots_chebyc(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第一类）正交。

roots_chebys(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第二类）正交。

roots_jacobi(n, alpha, beta[, mu])

高斯-雅可比正交。

roots_laguerre(n[, mu])

高斯-拉盖尔正交。

roots_genlaguerre(n, alpha[, mu])

高斯-广义拉盖尔正交。

roots_hermite(n[, mu])

高斯-埃尔米特（物理学家）正交。

roots_hermitenorm(n[, mu])

高斯-埃尔米特（统计学家）正交。

roots_gegenbauer(n, alpha[, mu])

高斯-盖根鲍尔正交。

roots_sh_legendre(n[, mu])

高斯-勒让德（移位）正交。

roots_sh_chebyt(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第一类，移位）正交。

roots_sh_chebyu(n[, mu])

高斯-切比雪夫（第二类，移位）正交。

roots_sh_jacobi(n, p1, q1[, mu])

高斯-雅可比（移位）正交。

下面的函数依次在 orthopoly1d 对象中返回多项式系数，这些对象的函数功能与 numpy.poly1d 类似。 orthopoly1d 类还具有一个 weights 属性，它返回相应形式的高斯正交的根、权重和总权重。这些数据以 n x 3 数组的形式返回，其中根在第一列，权重在第二列，总权重在最后一列。请注意，orthopoly1d 对象在进行算术运算时会转换为 poly1d，并丢失原始正交多项式的信息。

legendre(n[, monic])

勒让德多项式。

chebyt(n[, monic])

第一类切比雪夫多项式。

chebyu(n[, monic])

第二类切比雪夫多项式。

chebyc(n[, monic])

在 \([-2, 2]\) 上的第一类切比雪夫多项式。

chebys(n[, monic])

在 \([-2, 2]\) 上的第二类切比雪夫多项式。

jacobi(n, alpha, beta[, monic])

雅可比多项式。

laguerre(n[, monic])

拉盖尔多项式。

genlaguerre(n, alpha[, monic])

广义（伴随）拉盖尔多项式。

hermite(n[, monic])

物理学家的埃尔米特多项式。

hermitenorm(n[, monic])

归一化（概率论家）埃尔米特多项式。

gegenbauer(n, alpha[, monic])

盖根鲍尔（超球面）多项式。

sh_legendre(n[, monic])

移位勒让德多项式。

sh_chebyt(n[, monic])

移位第一类切比雪夫多项式。

sh_chebyu(n[, monic])

移位第二类切比雪夫多项式。

sh_jacobi(n, p, q[, monic])

移位雅可比多项式。

警告

使用多项式系数计算高阶多项式（大约 order > 20）的值在数值上是不稳定的。为了评估多项式值，应改用 eval_* 函数。

超几何函数#

hyp2f1(a, b, c, z[, out])

高斯超几何函数 2F1(a, b; c; z)

hyp1f1(a, b, x[, out])

合流超几何函数 1F1。

hyperu(a, b, x[, out])

合流超几何函数 U

hyp0f1(v, z[, out])

合流超几何极限函数 0F1。

抛物柱面函数#

pbdv(v, x[, out])

抛物柱面函数 D

pbvv(v, x[, out])

抛物柱面函数 V

pbwa(a, x[, out])

抛物柱面函数 W。

以下函数不接受 NumPy 数组（它们不是通用函数）

pbdv_seq(v, x)

抛物柱面函数 Dv(x) 及其导数。

pbvv_seq(v, x)

抛物柱面函数 Vv(x) 及其导数。

pbdn_seq(n, z)

抛物柱面函数 Dn(z) 及其导数。

扁长波函数#

pro_ang1(m, n, c, x[, out])

第一类扁长球角函数及其导数

pro_rad1(m, n, c, x[, out])

第一类扁长球径向函数及其导数

pro_rad2(m, n, c, x[, out])

第二类扁长球径向函数及其导数

obl_ang1(m, n, c, x[, out])

第一类扁圆球角函数及其导数

obl_rad1(m, n, c, x[, out])

第一类扁圆球径向函数及其导数

obl_rad2(m, n, c, x[, out])

第二类扁圆球径向函数及其导数。

pro_cv(m, n, c[, out])

扁长球函数的特征值

obl_cv(m, n, c[, out])

扁圆球函数的特征值

pro_cv_seq(m, n, c)

扁长球波函数的特征值。

obl_cv_seq(m, n, c)

扁圆球波函数的特征值。

以下函数需要预先计算的特征值

pro_ang1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁长球角函数 pro_ang1

pro_rad1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁长球径向函数 pro_rad1

pro_rad2_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁长球径向函数 pro_rad2

obl_ang1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁圆球角函数 obl_ang1

obl_rad1_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁圆球径向函数 obl_rad1

obl_rad2_cv(m, n, c, cv, x[, out])

用于预计算特征值的扁圆球径向函数 obl_rad2

开尔文函数#

kelvin(x[, out])

作为复数的开尔文函数

kelvin_zeros(nt)

计算所有开尔文函数的 nt 个零点。

ber(x[, out])

开尔文函数 ber。

bei(x[, out])

开尔文函数 bei。

berp(x[, out])

开尔文函数 ber 的导数。

beip(x[, out])

开尔文函数 bei 的导数。

ker(x[, out])

开尔文函数 ker。

kei(x[, out])

开尔文函数 kei。

kerp(x[, out])

开尔文函数 ker 的导数。

keip(x[, out])

开尔文函数 kei 的导数。

以下函数不接受 NumPy 数组（它们不是通用函数）

ber_zeros(nt)

计算开尔文函数 ber 的 nt 个零点。

bei_zeros(nt)

计算开尔文函数 bei 的 nt 个零点。

berp_zeros(nt)

计算开尔文函数 ber 的导数的 nt 个零点。

beip_zeros(nt)

计算开尔文函数 bei 的导数的 nt 个零点。

ker_zeros(nt)

计算开尔文函数 ker 的 nt 个零点。

kei_zeros(nt)

计算开尔文函数 kei 的 nt 个零点。

kerp_zeros(nt)

计算开尔文函数 ker 的导数的 nt 个零点。

keip_zeros(nt)

计算开尔文函数 kei 的导数的 nt 个零点。

组合学#

comb(N, k, *[, exact, repetition])

从 N 个事物中每次取 k 个的组合数。

perm(N, k[, exact])

从 N 个事物中每次取 k 个的排列数，即 N 的 k-排列。

stirling2(N, K, *[, exact])

生成第二类斯特林数。

其他特殊函数#

agm(a, b[, out])

计算 a 和 b 的算术-几何平均值。

bernoulli(n)

伯努利数 B0..Bn（含）。

binom(x, y[, out])

二项式系数，被视为两个实变量的函数。

diric(x, n)

周期性 sinc 函数，也称为狄利克雷函数。

euler(n)

欧拉数 E(0), E(1), ..., E(n)。

expn(n, x[, out])

广义指数积分 En。

exp1(z[, out])

指数积分 E1。

expi(x[, out])

指数积分 Ei。

factorial(n[, exact, extend])

一个数字或数字数组的阶乘。

factorial2(n[, exact, extend])

双阶乘。

factorialk(n, k[, exact, extend])

n 的 k 阶多重阶乘，n(!!...!)。

shichi(x[, out])

双曲正弦和余弦积分。

sici(x[, out])

正弦和余弦积分。

softmax(x[, axis])

计算 softmax 函数。

log_softmax(x[, axis])

计算 softmax 函数的对数。

spence(z[, out])

斯彭斯函数，也称为对数函数。

zeta(x[, q, out])

黎曼或赫尔维茨 zeta 函数。

zetac(x[, out])

黎曼 zeta 函数减去 1。

softplus(x, **kwargs)

逐元素计算 softplus 函数。

便捷函数#

cbrt(x[, out])

x 的逐元素立方根。

exp10(x[, out])

逐元素计算 10**x。

exp2(x[, out])

逐元素计算 2**x。

radian(d, m, s[, out])

将度转换为弧度。

cosdg(x[, out])

给定度数的角度 x 的余弦。

sindg(x[, out])

给定度数的角度 x 的正弦。

tandg(x[, out])

给定度数的角度 x 的正切。

cotdg(x[, out])

给定度数的角度 x 的余切。

log1p(x[, out])

计算 log(1 + x)，用于 x 接近零的情况。

expm1(x[, out])

计算 exp(x) - 1。

cosm1(x[, out])

计算 cos(x) - 1，用于 x 接近零的情况。

powm1(x, y[, out])

计算 x**y - 1。

round(x[, out])

四舍五入到最接近的整数。

xlogy(x, y[, out])

计算 x*log(y)，使得当 x = 0 时结果为 0。

xlog1py(x, y[, out])

计算 x*log1p(y)，使得当 x = 0 时结果为 0。

logsumexp(a[, axis, b, keepdims, return_sign])

计算输入元素的指数和的对数。

exprel(x[, out])

相对误差指数，(exp(x) - 1)/x。

sinc(x)

返回归一化的 sinc 函数。