scipy.special.iv#

scipy.special.iv(v, z, out=None) = <ufunc 'iv'>#

实阶一类修正贝塞尔函数。

参数:

v类数组: 阶。如果 z 为实数类型且为负数, v 必须为整数值。
z类型为浮点数或复数的类数组: 参数。
outndarray, 可选: 用作函数值的可选项输出数组

返回:

标量或 ndarray: 修正贝塞尔函数的值。

参见

ive: 此函数已取消领先指数行为。
i0: 0 阶时此函数的较快版本。
i1: 1 阶时此函数的较快版本。

提示

对于实数 z 和 \(v \in [-50, 50]\), 使用 Temme 的方法 [1] 进行评估。对于较大阶, 应用一致渐近展开。

对于复杂的 z 和正 v，将调用 AMOS [2] zbesi 例程。它使用一个渐进级数用于小的 z，渐近展开用于大的 abs(z)，由弗朗斯基规范化的米勒算法和用于中间大小的诺依曼级数，和用于大阶数的 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的统一渐近展开。向后递归用来生成序列或在必要时降低阶数。

以上的计算在右半平面中执行，并且通过下列公式延续到左半平面中，

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

（当 z 的实部为正时有效）。对于负 v，使用下列公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

其中 \(K_v(z)\) 是修改过的第二类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesk 评估。

引用

[1]

Temme，Journal of Computational Physics，卷 21，343 (1976)

[2]

唐纳德·E·艾默斯，“AMOS，一个用于复杂参数和非负阶贝塞尔函数的可移植软件包”，http://netlib.org/amos/

示例

在一处计算 0 阶函数。

>>> from scipy.special import iv
>>> iv(0, 1.)
1.2660658777520084

为不同的阶数在一处计算函数。

>>> iv(0, 1.), iv(1, 1.), iv(1.5, 1.)
(1.2660658777520084, 0.565159103992485, 0.2935253263474798)

可以通过将列表或 NumPy 数组作为 v 参数的实参在一个调用中执行不同阶数的计算

>>> iv([0, 1, 1.5], 1.)
array([1.26606588, 0.5651591 , 0.29352533])

通过为 z 提供一个数组，为阶数 0 在几个点处计算函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> iv(0, points)
array([2.2795853 , 1.        , 4.88079259])

如果 z 是一个数组，则必须广播阶数参数 v 到正确的形状，如果在一个调用中计算不同的阶数。要为一维数组计算阶数 0 和 1

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> iv(orders, points)
array([[ 2.2795853 ,  1.        ,  4.88079259],
       [-1.59063685,  0.        ,  3.95337022]])

绘制从 -5 到 5 的 0 到 3 阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, iv(i, x), label=f'$I_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()