scipy.special.iv#
- scipy.special.iv(v, z, out=None) = <ufunc 'iv'>#
实数阶第一类修正贝塞尔函数。
- 参数:
- v类数组
阶数。如果 z 是实数且为负数,则 v 必须是整数值。
- z浮点数或复数的类数组
参数。
- outndarray,可选
可选的用于存放函数值的输出数组
- 返回:
- 标量或 ndarray
修正贝塞尔函数的值。
注意
对于实数 z 和 \(v \in [-50, 50]\),使用 Temme 方法 [1] 进行求值。对于更高阶数,则应用一致渐近展开式。
对于复数 z 和正数 v,调用 AMOS [2] zbesi 例程。它对小 z 使用幂级数,对大 abs(z) 使用渐近展开式,对中间幅度使用由 Wronskian 归一化的 Miller 算法和 Neumann 级数,对高阶则使用 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的一致渐近展开式。必要时,使用逆向递推生成序列或降低阶数。
上述计算在右半平面进行,并通过以下公式延伸到左半平面,
\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\](当 z 的实部为正时有效)。对于负数 v,使用公式
\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\],其中 \(K_v(z)\) 是第二类修正贝塞尔函数,使用 AMOS 例程 zbesk 进行求值。
参考文献
[1]Temme, Journal of Computational Physics, vol 21, 343 (1976)
[2]Donald E. Amos, “AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”, http://netlib.org/amos/
示例
在一点处计算0阶函数。
>>> from scipy.special import iv >>> iv(0, 1.) 1.2660658777520084
在一点处计算不同阶数的函数。
>>> iv(0, 1.), iv(1, 1.), iv(1.5, 1.) (1.2660658777520084, 0.565159103992485, 0.2935253263474798)
可以通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组作为参数,一次性完成不同阶数的计算
>>> iv([0, 1, 1.5], 1.) array([1.26606588, 0.5651591 , 0.29352533])
通过为 z 提供数组,在多个点计算0阶函数。
>>> import numpy as np >>> points = np.array([-2., 0., 3.]) >>> iv(0, points) array([2.2795853 , 1. , 4.88079259])
如果 z 是一个数组,则如果要在一次调用中计算不同阶数,阶数参数 v 必须可广播到正确的形状。计算1D数组的0阶和1阶
>>> orders = np.array([[0], [1]]) >>> orders.shape (2, 1)
>>> iv(orders, points) array([[ 2.2795853 , 1. , 4.88079259], [-1.59063685, 0. , 3.95337022]])
绘制从-5到5的0阶到3阶函数。
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> fig, ax = plt.subplots() >>> x = np.linspace(-5., 5., 1000) >>> for i in range(4): ... ax.plot(x, iv(i, x), label=f'$I_{i!r}$') >>> ax.legend() >>> plt.show()