优化和求根 (scipy.optimize)

SciPy 的 optimize 模块提供了最小化（或最大化）目标函数的功能，可能受约束。它包括非线性问题求解器（支持局部和全局优化算法）、线性规划、约束和非线性最小二乘、求根以及曲线拟合。

在不同求解器之间共享的常用函数和对象有：

show_options([solver, method, disp])	显示优化求解器附加选项的文档。
OptimizeResult	表示优化结果。
OptimizeWarning	scipy.optimize 的通用警告。

优化

标量函数优化

minimize_scalar(fun[, bracket, bounds, ...])

单变量标量函数的局部最小化。

minimize_scalar 函数支持以下方法：

• minimize_scalar(method=’brent’)
• minimize_scalar(method=’bounded’)
• minimize_scalar(method=’golden’)

局部（多变量）优化

minimize(fun, x0[, args, method, jac, hess, ...])

一个或多个变量的标量函数最小化。

minimize 函数支持以下方法：

• minimize(method=’Nelder-Mead’)
• minimize(method=’Powell’)
• minimize(method=’CG’)
• minimize(method=’BFGS’)
• minimize(method=’Newton-CG’)
• minimize(method=’L-BFGS-B’)
• minimize(method=’TNC’)
• minimize(method=’COBYLA’)
• minimize(method=’COBYQA’)
• minimize(method=’SLSQP’)
• minimize(method=’trust-constr’)
• minimize(method=’dogleg’)
• minimize(method=’trust-ncg’)
• minimize(method=’trust-krylov’)
• minimize(method=’trust-exact’)

约束作为单个对象或以下类的对象列表传递给 minimize 函数：

NonlinearConstraint(fun, lb, ub[, jac, ...])	变量上的非线性约束。
LinearConstraint(A[, lb, ub, keep_feasible])	变量上的线性约束。

简单边界约束单独处理，并且有一个专门的类：

Bounds([lb, ub, keep_feasible])

变量上的边界约束。

实现 HessianUpdateStrategy 接口的拟牛顿策略可用于在 minimize 函数中近似 Hessian（仅适用于“trust-constr”方法）。实现此接口的可用拟牛顿方法有：

BFGS([exception_strategy, min_curvature, ...])	Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) Hessian 更新策略。
SR1([min_denominator, init_scale])	对称秩 1 Hessian 更新策略。

全局优化

basinhopping(func, x0[, niter, T, stepsize, ...])	使用盆跳算法寻找函数的全局最小值。
brute(func, ranges[, args, Ns, full_output, ...])	通过暴力法在给定范围内最小化函数。
differential_evolution(func, bounds[, args, ...])	寻找多元函数的全局最小值。
shgo(func, bounds[, args, constraints, n, ...])	使用 SHG 优化寻找函数的全局最小值。
dual_annealing(func, bounds[, args, ...])	使用双重退火算法寻找函数的全局最小值。
direct(func, bounds, *[, args, eps, maxfun, ...])	使用 DIRECT 算法寻找函数的全局最小值。

最小二乘和曲线拟合

非线性最小二乘

least_squares(fun, x0[, jac, bounds, ...])

求解带有变量边界的非线性最小二乘问题。

线性最小二乘

nnls(A, b, *[, maxiter, atol])	求解 argmin_x || Ax - b ||_2，其中 x>=0。
lsq_linear(A, b[, bounds, method, tol, ...])	求解带有变量边界的线性最小二乘问题。
isotonic_regression(y, *[, weights, increasing])	非参数等渗回归。

曲线拟合

curve_fit(f, xdata, ydata[, p0, sigma, ...])

使用非线性最小二乘法将函数 f 拟合到数据。

求根

标量函数

root_scalar(f[, args, method, bracket, ...])	寻找标量函数的根。
brentq(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用 Brent 方法在括号区间内寻找函数的根。
brenth(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用 Brent 方法并结合双曲外推在括号区间内寻找函数的根。
ridder(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用 Ridder 方法在区间内寻找函数的根。
bisect(f, a, b[, args, xtol, rtol, maxiter, ...])	使用二分法在区间内寻找函数的根。
newton(func, x0[, fprime, args, tol, ...])	使用牛顿-拉夫逊（或割线或哈雷）方法寻找实函数或复函数的根。
toms748(f, a, b[, args, k, xtol, rtol, ...])	使用 TOMS 算法 748 方法寻找根。
RootResults(root, iterations, ...)	表示求根结果。

root_scalar 函数支持以下方法：

• root_scalar(method=’brentq’)
• root_scalar(method=’brenth’)
• root_scalar(method=’bisect’)
• root_scalar(method=’ridder’)
• root_scalar(method=’newton’)
• root_scalar(method=’toms748’)
• root_scalar(method=’secant’)
• root_scalar(method=’halley’)

下表列出了各种情况和适当的方法，以及成功收敛到简单根(*)时每次迭代（和每次函数求值）的渐近收敛速度。二分法是所有方法中最慢的，每次函数求值增加一位精度，但保证收敛。其他括号法（最终）每次函数求值都会使精度位数增加约 50%。基于导数的方法，都建立在 newton 之上，如果初始值接近根，则可以很快收敛。它们也可以应用于定义在复平面（或其子集）上的函数。

f 的定义域	括号？	导数？		求解器	收敛性
		fprime	fprime2		有保证吗？	速率(*)
R	是	不适用	不适用	bisection brentq brenth ridder toms748	是 是 是 是 是	1 “线性” >=1, <= 1.62 >=1, <= 1.62 2.0 (1.41) 2.7 (1.65)
R 或 C	否	否	否	secant	否	1.62 (1.62)
R 或 C	否	是	否	newton	否	2.00 (1.41)
R 或 C	否	是	是	halley	否	3.00 (1.44)

另请参阅

scipy.optimize.cython_optimize – 求根函数的类型化 Cython 版本

不动点寻找

fixed_point(func, x0[, args, xtol, maxiter, ...])

寻找函数的不动点。

多维

root(fun, x0[, args, method, jac, tol, ...])

寻找向量函数的根。

root 函数支持以下方法：

• root(method=’hybr’)
• root(method=’lm’)
• root(method=’broyden1’)
• root(method=’broyden2’)
• root(method=’anderson’)
• root(method=’linearmixing’)
• root(method=’diagbroyden’)
• root(method=’excitingmixing’)
• root(method=’krylov’)
• root(method=’df-sane’)

逐元素最小化和求根

• 逐元素标量优化 (scipy.optimize.elementwise)
  • 求根
    • find_root
    • bracket_root
  • 最小化
    • find_minimum
    • bracket_minimum

线性规划 / MILP

milp(c, *[, integrality, bounds, ...])	混合整数线性规划
linprog(c[, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds, ...])	线性规划：最小化线性目标函数，受线性等式和不等式约束。

linprog 函数支持以下方法：

• linprog(method=’simplex’)
• linprog(method=’interior-point’)
• linprog(method=’revised simplex’)
• linprog(method=’highs-ipm’)
• linprog(method=’highs-ds’)
• linprog(method=’highs’)

单纯形法、内点法和修正单纯形法支持回调函数，例如：

linprog_verbose_callback(res)

一个演示 linprog 回调接口的示例回调函数。

分配问题

linear_sum_assignment	求解线性分配问题。
quadratic_assignment(A, B[, method, options])	近似求解二次分配问题和图匹配问题。

quadratic_assignment 函数支持以下方法：

• quadratic_assignment(method=’faq’)
• quadratic_assignment(method=’2opt’)

实用工具

有限差分近似

approx_fprime(xk, f[, epsilon])	标量或向量值函数导数的有限差分近似。
check_grad(func, grad, x0, *args[, epsilon, ...])	通过将梯度函数与梯度的（前向）有限差分近似进行比较，检查梯度函数的正确性。

线搜索

bracket(func[, xa, xb, args, grow_limit, ...])	包围函数的最小值。
line_search(f, myfprime, xk, pk[, gfk, ...])	寻找满足强 Wolfe 条件的 alpha 值。

Hessian 近似

LbfgsInvHessProduct(*args, **kwargs)	L-BFGS 近似逆 Hessian 的线性算子。
HessianUpdateStrategy()	实现 Hessian 更新策略的接口。

基准问题

rosen(x)	Rosenbrock 函数。
rosen_der(x)	Rosenbrock 函数的导数（即梯度）。
rosen_hess(x)	Rosenbrock 函数的 Hessian 矩阵。
rosen_hess_prod(x, p)	Rosenbrock 函数的 Hessian 矩阵与向量的乘积。

遗留函数

以下函数不建议在新脚本中使用；所有这些方法都可以通过上述更新、更一致的接口访问。

优化

通用多变量方法

fmin(func, x0[, args, xtol, ftol, maxiter, ...])	使用下坡单纯形算法最小化函数。
fmin_powell(func, x0[, args, xtol, ftol, ...])	使用修正的 Powell 方法最小化函数。
fmin_cg(f, x0[, fprime, args, gtol, norm, ...])	使用非线性共轭梯度算法最小化函数。
fmin_bfgs(f, x0[, fprime, args, gtol, norm, ...])	使用 BFGS 算法最小化函数。
fmin_ncg(f, x0, fprime[, fhess_p, fhess, ...])	使用牛顿-CG 方法对函数进行无约束最小化。

约束多变量方法

fmin_l_bfgs_b(func, x0[, fprime, args, ...])	使用 L-BFGS-B 算法最小化函数 func。
fmin_tnc(func, x0[, fprime, args, ...])	使用截断牛顿算法，在变量受边界约束的情况下最小化函数，并利用梯度信息。
fmin_cobyla(func, x0, cons[, args, ...])	使用线性近似约束优化 (COBYLA) 方法最小化函数。
fmin_slsqp(func, x0[, eqcons, f_eqcons, ...])	使用序列最小二乘规划最小化函数

单变量（标量）最小化方法

fminbound(func, x1, x2[, args, xtol, ...])	标量函数的有界最小化。
brent(func[, args, brack, tol, full_output, ...])	给定一个单变量函数和一个可能的括号，返回函数的局部最小化器，精度为 tol。
golden(func[, args, brack, tol, ...])	使用黄金分割法返回单变量函数的最小化器。

最小二乘

leastsq(func, x0[, args, Dfun, full_output, ...])

最小化一组方程的平方和。

求根

通用非线性求解器

fsolve(func, x0[, args, fprime, ...])	寻找函数的根。
broyden1(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用 Broyden 的第一种雅可比近似方法寻找函数的根。
broyden2(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用 Broyden 的第二种雅可比近似方法寻找函数的根。
NoConvergence	当非线性求解器未在指定 maxiter 内收敛时引发的异常。

大规模非线性求解器

newton_krylov(F, xin[, iter, rdiff, method, ...])	使用 Krylov 近似逆雅可比矩阵寻找函数的根。
anderson(F, xin[, iter, alpha, w0, M, ...])	使用（扩展）Anderson 混合方法寻找函数的根。
BroydenFirst([alpha, reduction_method, max_rank])	使用 Broyden 的第一种雅可比近似方法寻找函数的根。
InverseJacobian(jacobian)	一个简单的包装器，使用 solve 方法反转雅可比矩阵。
KrylovJacobian([rdiff, method, ...])	使用 Krylov 近似逆雅可比矩阵寻找函数的根。

简单迭代求解器

excitingmixing(F, xin[, iter, alpha, ...])	使用调优的对角雅可比近似寻找函数的根。
linearmixing(F, xin[, iter, alpha, verbose, ...])	使用标量雅可比近似寻找函数的根。
diagbroyden(F, xin[, iter, alpha, verbose, ...])	使用对角 Broyden 雅可比近似寻找函数的根。