scipy.optimize.

根#

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method='hybr', jac=None, tol=None, callback=None, options=None)[source]#

寻找向量函数的根。

参数:

fun可调用对象

寻找根的向量函数。

假设该可调用对象具有签名f0(x, *my_args, **my_kwargs)，其中my_args和my_kwargs是必需的位置参数和关键字参数。不应直接传递f0作为可调用对象，而是将其封装以仅接受x；例如，将fun=lambda x: f0(x, *my_args, **my_kwargs)作为可调用对象传递，其中my_args（元组）和my_kwargs（字典）已在该函数调用前收集。

x0ndarray

初始猜测值。

args元组, 可选

传递给目标函数及其雅可比矩阵的额外参数。

methodstr, 可选

求解器类型。应为以下之一：

‘hybr’ (参见此处)
‘lm’ (参见此处)
‘broyden1’ (参见此处)
‘broyden2’ (参见此处)
‘anderson’ (参见此处)
‘linearmixing’ (参见此处)
‘diagbroyden’ (参见此处)
‘excitingmixing’ (参见此处)
‘krylov’ (参见此处)
‘df-sane’ (参见此处)

jac布尔值或可调用对象, 可选

如果jac是布尔值且为 True，则假定fun返回雅可比矩阵的值以及目标函数。如果为 False，则雅可比矩阵将通过数值方法估计。jac也可以是一个可调用对象，返回fun的雅可比矩阵。在这种情况下，它必须接受与fun相同的参数。

tolfloat, 可选

终止容差。如需详细控制，请使用求解器特定选项。

callback函数, 可选

可选的回调函数。它在每次迭代时被调用，形式为callback(x, f)，其中x是当前解，而f是相应的残差。适用于除 ‘hybr’ 和 ‘lm’ 之外的所有方法。

optionsdict, 可选

求解器选项的字典。例如，xtol或maxiter，详情请参见show_options()。

返回值:

solOptimizeResult: 表示为OptimizeResult对象的解。重要属性包括：x解数组，success一个布尔标志，指示算法是否成功退出，以及message描述终止原因的字符串。更多属性说明请参见OptimizeResult。

另请参见

show_options: 求解器接受的额外选项

注意事项

本节描述了可通过 ‘method’ 参数选择的可用求解器。默认方法是hybr。

方法hybr使用鲍威尔混合方法的修改版本，该版本在 MINPACK [1]中实现。

方法lm使用莱文贝格-马夸特算法的修改版本，以最小二乘意义求解非线性方程组，该版本在 MINPACK [1]中实现。

方法df-sane是一种无导数谱方法。[3]

方法broyden1、broyden2、anderson、linearmixing、diagbroyden、excitingmixing、krylov是非精确牛顿方法，带有回溯或完整线搜索[2]。每种方法对应于特定的雅可比矩阵近似。

方法broyden1使用 Broyden 第一雅可比近似，它被称为 Broyden 优良方法。
方法broyden2使用 Broyden 第二雅可比近似，它被称为 Broyden 劣质方法。
方法anderson使用（扩展）安德森混合法。
方法Krylov使用求解逆雅可比矩阵的 Krylov 近似。它适用于大规模问题。
方法diagbroyden使用对角 Broyden 雅可比近似。
方法linearmixing使用标量雅可比近似。
方法excitingmixing使用调优对角雅可比近似。

警告

为方法diagbroyden、linearmixing和excitingmixing实现的算法可能对特定问题有用，但它们是否有效可能很大程度上取决于具体问题。

在 0.11.0 版本中添加。

参考文献

[1] (1,2)

More, Jorge J., Burton S. Garbow, and Kenneth E. Hillstrom. 1980. MINPACK-1 用户指南。

[2]

C. T. Kelley. 1995. 线性与非线性方程的迭代方法。工业与应用数学学会。<https://archive.siam.org/books/kelley/fr16/>

[3]

La Cruz, J.M. Martinez, M. Raydan. Math. Comp. 75, 1429 (2006)。

示例

以下函数定义了一个非线性方程组及其雅可比矩阵。

>>> import numpy as np
>>> def fun(x):
...     return [x[0]  + 0.5 * (x[0] - x[1])**3 - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0])**3 + x[1]]

>>> def jac(x):
...     return np.array([[1 + 1.5 * (x[0] - x[1])**2,
...                       -1.5 * (x[0] - x[1])**2],
...                      [-1.5 * (x[1] - x[0])**2,
...                       1 + 1.5 * (x[1] - x[0])**2]])

解决方案可以按如下方式获得。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.root(fun, [0, 0], jac=jac, method='hybr')
>>> sol.x
array([ 0.8411639,  0.1588361])

大规模问题

假设我们需要在正方形\([0,1]\times[0,1]\)上求解以下积分微分方程

\[\nabla^2 P = 10 \left(\int_0^1\int_0^1\cosh(P)\,dx\,dy\right)^2\]

其中\(P(x,1) = 1\)以及正方形边界上的其他地方\(P=0\)。

可以使用method='krylov'求解器找到解决方案

>>> from scipy import optimize
>>> # parameters
>>> nx, ny = 75, 75
>>> hx, hy = 1./(nx-1), 1./(ny-1)

>>> P_left, P_right = 0, 0
>>> P_top, P_bottom = 1, 0

>>> def residual(P):
...    d2x = np.zeros_like(P)
...    d2y = np.zeros_like(P)
...
...    d2x[1:-1] = (P[2:]   - 2*P[1:-1] + P[:-2]) / hx/hx
...    d2x[0]    = (P[1]    - 2*P[0]    + P_left)/hx/hx
...    d2x[-1]   = (P_right - 2*P[-1]   + P[-2])/hx/hx
...
...    d2y[:,1:-1] = (P[:,2:] - 2*P[:,1:-1] + P[:,:-2])/hy/hy
...    d2y[:,0]    = (P[:,1]  - 2*P[:,0]    + P_bottom)/hy/hy
...    d2y[:,-1]   = (P_top   - 2*P[:,-1]   + P[:,-2])/hy/hy
...
...    return d2x + d2y - 10*np.cosh(P).mean()**2

>>> guess = np.zeros((nx, ny), float)
>>> sol = optimize.root(residual, guess, method='krylov')
>>> print('Residual: %g' % abs(residual(sol.x)).max())
Residual: 5.7972e-06  # may vary

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x, y = np.mgrid[0:1:(nx*1j), 0:1:(ny*1j)]
>>> plt.pcolormesh(x, y, sol.x, shading='gouraud')
>>> plt.colorbar()
>>> plt.show()