scipy.optimize.

brentq#

scipy.optimize.brentq(f, a, b, args=(), xtol=2e-12, rtol=np.float64(8.881784197001252e-16), maxiter=100, full_output=False, disp=True)[source]#

使用 Brent 方法在括号区间内查找函数的根。

使用经典的 Brent 方法在变号区间 [a, b] 上查找函数 f 的根。它通常被认为是这里最好的求根例程。它是割线法的一种安全版本，使用逆二次外推。Brent 方法结合了根区间确定、区间二分和逆二次插值。它有时被称为 van Wijngaarden-Dekker-Brent 方法。Brent (1973) 声称对于在 [a,b] 内可计算的函数，收敛性是有保证的。

[Brent1973] 提供了该算法的经典描述。在最新版的《数值食谱》中可以找到另一个描述，包括 [PressEtal1992]。第三个描述位于 https://mathworld.net.cn/BrentsMethod.html。通过阅读我们的代码，应该很容易理解该算法。我们的代码与标准介绍略有不同：我们为外推步骤选择了一个不同的公式。

参数:

f函数: 返回一个数值的 Python 函数。函数 \(f\) 必须是连续的，且 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 必须具有相反的符号。
a标量: 括号区间 \([a, b]\) 的一端。
b标量: 括号区间 \([a, b]\) 的另一端。
xtol数值，可选: 计算出的根 x0 将满足 np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol)，其中 x 是精确的根。该参数必须为正。对于良好的函数，Brent 方法通常会使用 xtol/2 和 rtol/2 来满足上述条件。 [Brent1973]
rtol数值，可选: 计算出的根 x0 将满足 np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol)，其中 x 是精确的根。该参数不能小于其默认值 4*np.finfo(float).eps。对于良好的函数，Brent 方法通常会使用 xtol/2 和 rtol/2 来满足上述条件。 [Brent1973]
maxiter整数，可选: 如果在 maxiter 次迭代内未达到收敛，则会引发错误。必须 >= 0。
args元组，可选: 包含函数 f 的额外参数。f 通过 apply(f, (x)+args) 调用。
full_output布尔值，可选: 如果 full_output 为 False，则返回根。如果 full_output 为 True，则返回值为 (x, r)，其中 x 是根，r 是一个 RootResults 对象。
disp布尔值，可选: 如果为 True，则在算法未收敛时引发 RuntimeError。否则，收敛状态将记录在任何 RootResults 返回对象中。

返回:

root浮点数: 函数 f 在 a 和 b 之间的根。
rRootResults (如果 full_output = True 则存在): 包含收敛信息的对象。特别是，如果例程收敛，则 r.converged 为 True。

另请参阅

fmin, fmin_powell, fmin_cg, fmin_bfgs, fmin_ncg: 多元局部优化器
leastsq: 非线性最小二乘极小化器
fmin_l_bfgs_b, fmin_tnc, fmin_cobyla: 约束多元优化器
basinhopping, differential_evolution, brute: 全局优化器
fminbound, brent, golden, bracket: 局部标量极小化器
fsolve: N维求根
brenth, ridder, bisect, newton: 一维求根
fixed_point: 标量不动点查找器
elementwise.find_root: 高效的逐元素一维求根器

注意

f 必须是连续的。f(a) 和 f(b) 必须具有相反的符号。

正如参数文档中提到的，计算出的根 x0 将满足 np.isclose(x, x0, atol=xtol, rtol=rtol)，其中 x 是精确的根。以公式形式表示，此终止条件为 abs(x - x0) <= xtol + rtol * abs(x0)。

默认值 xtol=2e-12 可能会导致令人意外的行为，如果期望 brentq 始终计算出相对误差接近机器精度的根。应谨慎选择适用于当前用例的 xtol。将 xtol=5e-324（最小的次正规数）设置为可确保最高精度。在根位于或接近零的应用中，如果浮点数在零附近的微小绝对差值没有意义，那么较大的 xtol 值可能有助于节省函数评估。

参考文献

[Brent1973] (1,2,3)

Brent, R. P.，《无导数最小化算法》。英格尔伍德崖，新泽西州：Prentice-Hall，1973年。第3-4章。

[PressEtal1992]

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T.《FORTRAN 数值算法：科学计算的艺术》，第2版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第352-355页，1992年。第9.3节：“Van Wijngaarden-Dekker-Brent 方法。”

示例

>>> def f(x):
...     return (x**2 - 1)

>>> from scipy import optimize

>>> root = optimize.brentq(f, -2, 0)
>>> root
-1.0

>>> root = optimize.brentq(f, 0, 2)
>>> root
1.0