scipy.optimize.

milp#

scipy.optimize.milp(c, *, integrality=None, bounds=None, constraints=None, options=None)[source]#

混合整数线性规划

解决以下形式的问题

\[\begin{split}\min_x \ & c^T x \\ \mbox{such that} \ & b_l \leq A x \leq b_u,\\ & l \leq x \leq u, \\ & x_i \in \mathbb{Z}, i \in X_i\end{split}\]

其中 \(x\) 是决策变量向量；\(c\)、\(b_l\)、\(b_u\)、\(l\) 和 \(u\) 是向量；\(A\) 是矩阵，\(X_i\) 是必须为整数的决策变量索引集合。（在此上下文中，只能取整数值的变量称为“整数变量”；它具有“整数性”约束。）

或者，也可以这样表示

最小化

c @ x

使得

b_l <= A @ x <= b_u
l <= x <= u
Specified elements of x must be integers

默认情况下，除非通过 bounds 指定，否则 l = 0 且 u = np.inf。

参数:

c一维密集数组类型

要最小化的线性目标函数的系数。c 在问题求解之前会被转换为双精度数组。

integrality一维密集数组类型，可选

指示每个决策变量的整数性约束类型。

0 : 连续变量；无整数性约束。

1 : 整数变量；决策变量必须是 bounds 内的整数。

2 : 半连续变量；决策变量必须在 bounds 内或取值为 0。

3 : 半整数变量；决策变量必须是 bounds 内的整数或取值为 0。

默认情况下，所有变量都是连续的。integrality 在问题求解之前会被转换为整数数组。

boundsscipy.optimize.Bounds，可选

决策变量的界限。下界和上界在问题求解之前会被转换为双精度数组。Bounds 对象的 keep_feasible 参数被忽略。如果未指定，所有决策变量都将被限制为非负。

constraintsscipy.optimize.LinearConstraint 序列，可选

优化问题的线性约束。参数可以是以下之一

单个 LinearConstraint 对象
可以转换为 LinearConstraint 对象的单个元组，形式为 LinearConstraint(*constraints)
完全由类型 1. 和 2. 对象组成的序列

在问题求解之前，所有值都会被转换为双精度，约束系数矩阵会被转换为 scipy.sparse.csc_array 的实例。LinearConstraint 对象的 keep_feasible 参数被忽略。

options字典，可选

求解器选项的字典。识别以下键。

disp布尔值（默认: False）: 如果要在优化期间将优化状态指示器打印到控制台，则设置为 True。
node_limit整数，可选: 停止前要解决的最大节点数（线性规划松弛）。默认没有最大节点数。
presolve布尔值（默认: True）: 预处理尝试在将问题发送到主求解器之前识别平凡不可行性、平凡无界性并简化问题。
time_limit浮点数，可选: 解决问题所允许的最大秒数。默认没有时间限制。
mip_rel_gap浮点数，可选: MIP 求解器的终止准则：当原始目标值与对偶目标界限之间的差距（按原始目标值缩放）小于或等于 mip_rel_gap 时，求解器将终止。

返回:

resOptimizeResult

scipy.optimize.OptimizeResult 的一个实例。该对象保证具有以下属性。

status整数

表示算法退出状态的整数。

0 : 找到最优解。

1 : 达到迭代或时间限制。

2 : 问题不可行。

3 : 问题无界。

4 : 其他；详情请参见消息。

success布尔值

当找到最优解时为 True，否则为 False。

message字符串

算法退出状态的字符串描述。

以下属性也将存在，但其值可能为 None，具体取决于解决方案状态。

xndarray: 在满足约束条件下，使目标函数最小化的决策变量的值。
fun浮点数: 目标函数 c @ x 的最优值。
mip_node_count整数: MILP 求解器解决的子问题或“节点”数量。
mip_dual_bound浮点数: MILP 求解器对最优解下界的最终估计。
mip_gap浮点数: 原始目标值与对偶目标界限之间的差值，按原始目标值缩放。

备注

milp 是 HiGHS 线性优化软件 [1] 的一个包装器。该算法是确定性的，并且通常能找到中等难度的混合整数线性规划问题的全局最优解（如果存在）。

参考文献

[1]

Huangfu, Q., Galabova, I., Feldmeier, M., and Hall, J. A. J. “HiGHS - high performance software for linear optimization.” https://highs.dev/

[2]

Huangfu, Q. and Hall, J. A. J. “Parallelizing the dual revised simplex method.” Mathematical Programming Computation, 10 (1), 119-142, 2018. DOI: 10.1007/s12532-017-0130-5

示例

考虑 https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_programming#Example 中的问题，该问题表示为两个变量的最大化问题。由于 milp 要求问题表示为最小化问题，因此决策变量上的目标函数系数为

>>> import numpy as np
>>> c = -np.array([0, 1])

注意负号：我们通过最小化目标函数的负值来最大化原始目标函数。

我们将约束的系数收集到如下数组中

>>> A = np.array([[-1, 1], [3, 2], [2, 3]])
>>> b_u = np.array([1, 12, 12])
>>> b_l = np.full_like(b_u, -np.inf, dtype=float)

由于这些约束没有下限，我们定义了一个变量 b_l，其中包含表示负无穷大的值。这对于 scipy.optimize.linprog 的用户来说可能不熟悉，因为它只接受形式为 A_ub @ x <= b_u 的“小于”（或“上限”）不等式约束。通过接受约束 b_l <= A_ub @ x <= b_u 的 b_l 和 b_u，milp 使得简洁地指定“大于”不等式约束、“小于”不等式约束和等式约束变得容易。

这些数组被收集到一个 LinearConstraint 对象中，如下所示

>>> from scipy.optimize import LinearConstraint
>>> constraints = LinearConstraint(A, b_l, b_u)

决策变量的非负性界限默认生效，因此我们无需为 bounds 提供参数。

最后，问题说明两个决策变量都必须是整数

>>> integrality = np.ones_like(c)

我们这样解决问题

>>> from scipy.optimize import milp
>>> res = milp(c=c, constraints=constraints, integrality=integrality)
>>> res.x
[2.0, 2.0]

请注意，如果我们解决了松弛问题（没有整数性约束）

>>> res = milp(c=c, constraints=constraints)  # OR:
>>> # from scipy.optimize import linprog; res = linprog(c, A, b_u)
>>> res.x
[1.8, 2.8]

我们将无法通过四舍五入到最近的整数来获得正确的解决方案。

其他示例请参见教程。