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scipy.optimize.

milp#

scipy.optimize.milp(c, *, integrality=None, bounds=None, constraints=None, options=None)[源代码]#

混合整数线性规划

求解以下形式的问题

\[\begin{split}\min_x \ & c^T x \\ \mbox{使得} \ & b_l \leq A x \leq b_u,\\ & l \leq x \leq u, \\ & x_i \in \mathbb{Z}, i \in X_i\end{split}\]

其中 \(x\) 是决策变量的向量；\(c\)、\(b_l\)、\(b_u\)、\(l\) 和 \(u\) 是向量；\(A\) 是矩阵，而 \(X_i\) 是必须为整数的决策变量的索引集。（在此上下文中，只能取整数值的变量被称为“整数”；它具有“整数性”约束。）

或者，它是

最小化

c @ x

使得

b_l <= A @ x <= b_u
l <= x <= u
Specified elements of x must be integers

默认情况下，l = 0 且 u = np.inf，除非使用 bounds 指定。

参数:
c一维密集类数组

要最小化的线性目标函数的系数。 在解决问题之前，c 将转换为双精度数组。

integrality一维密集类数组，可选

指示每个决策变量的整数约束类型。

0 : 连续变量；没有整数约束。

1 : 整数变量；决策变量必须是 bounds 中的整数。

2 : 半连续变量；决策变量必须在 bounds 内或取值 0。

3 : 半整数变量；决策变量必须是 bounds 内的整数或取值 0。

默认情况下，所有变量都是连续的。 在解决问题之前，integrality 将转换为整数数组。

boundsscipy.optimize.Bounds, 可选

决策变量的边界。 在解决问题之前，下限和上限将转换为双精度数组。 Bounds 对象的 keep_feasible 参数将被忽略。 如果未指定，则所有决策变量都被约束为非负数。

constraintsscipy.optimize.LinearConstraint 的序列，可选

优化问题的线性约束。 参数可以是以下之一

  1. 单个 LinearConstraint 对象

  2. 可以转换为 LinearConstraint 对象的单个元组，如 LinearConstraint(*constraints)

  3. 完全由类型 1 和 2 的对象组成的序列。

在解决问题之前，所有值都将转换为双精度，并且约束系数矩阵将转换为 scipy.sparse.csc_array 的实例。 LinearConstraint 对象的 keep_feasible 参数将被忽略。

options字典，可选

求解器选项的字典。 识别以下键。

dispbool (默认值: False)

如果要在优化期间将优化状态的指示符打印到控制台，则设置为 True。

node_limitint，可选

停止之前要解决的最大节点数（线性规划松弛）。 默认值是没有最大节点数。

presolvebool (默认值: True)

预求解尝试识别平凡的不可行性、识别平凡的无界性，并在将其发送到主求解器之前简化问题。

time_limitfloat，可选

解决问题允许的最大秒数。 默认值是没有时间限制。

mip_rel_gapfloat，可选

MIP 求解器的终止标准：当原始目标值和对偶目标边界之间的差距（按原始目标值缩放）<= mip_rel_gap 时，求解器将终止。

返回:
resOptimizeResult

scipy.optimize.OptimizeResult 的一个实例。 该对象保证具有以下属性。

statusint

一个表示算法退出状态的整数。

0 : 找到最优解。

1 : 达到迭代或时间限制。

2 : 问题不可行。

3 : 问题无界。

4 : 其他；请参阅消息了解详情。

successbool

当找到最优解时为 True，否则为 False。

messagestr

一个描述算法退出状态的字符串。

以下属性也会存在，但值可能为 None，具体取决于求解状态。

xndarray

在满足约束的同时使目标函数最小化的决策变量的值。

funfloat

目标函数 c @ x 的最优值。

mip_node_countint

MILP 求解器解决的子问题或“节点”的数量。

mip_dual_boundfloat

MILP 求解器对最优解下限的最终估计值。

mip_gapfloat

原始目标值和对偶目标边界之间的差值，按原始目标值缩放。

注释

milp 是 HiGHS 线性优化软件的包装器 [1]。 该算法是确定性的，并且通常会找到适度具有挑战性的混合整数线性规划的全局最优值（如果存在）。

参考文献

[1]

Huangfu, Q., Galabova, I., Feldmeier, M. 和 Hall, J. A. J.“HiGHS - 用于线性优化的高性能软件。” https://highs.dev/

[2]

Huangfu, Q. 和 Hall, J. A. J.“并行化对偶修正单纯形法。” Mathematical Programming Computation, 10 (1), 119-142, 2018. DOI: 10.1007/s12532-017-0130-5

示例

考虑 https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_programming#Example 中的问题，该问题表示为两个变量的最大化问题。 由于 milp 要求将问题表示为最小化问题，因此决策变量上的目标函数系数为

>>> import numpy as np
>>> c = -np.array([0, 1])

请注意负号：我们通过最小化目标函数的负数来最大化原始目标函数。

我们将约束的系数收集到如下的数组中

>>> A = np.array([[-1, 1], [3, 2], [2, 3]])
>>> b_u = np.array([1, 12, 12])
>>> b_l = np.full_like(b_u, -np.inf, dtype=float)

由于这些约束没有下限，我们定义了一个变量 b_l，其中充满了表示负无穷的值。 对于 scipy.optimize.linprog 的用户来说，这可能不太熟悉，因为它只接受 A_ub @ x <= b_u 形式的“小于”（或“上限”）不等式约束。 通过接受约束 b_l <= A_ub @ x <= b_u 的 b_l 和 b_u，milp 可以轻松简洁地指定“大于”不等式约束、“小于”不等式约束和等式约束。

这些数组被收集到一个单一的 LinearConstraint 对象中，如下所示：

>>> from scipy.optimize import LinearConstraint
>>> constraints = LinearConstraint(A, b_l, b_u)

默认情况下会强制执行决策变量的非负性边界，因此我们无需为 bounds 提供参数。

最后，问题指出两个决策变量都必须是整数。

>>> integrality = np.ones_like(c)

我们像这样解决问题：

>>> from scipy.optimize import milp
>>> res = milp(c=c, constraints=constraints, integrality=integrality)
>>> res.x
[2.0, 2.0]

请注意，如果我们解决了松弛问题（没有整数约束）：

>>> res = milp(c=c, constraints=constraints)  # OR:
>>> # from scipy.optimize import linprog; res = linprog(c, A, b_u)
>>> res.x
[1.8, 2.8]

通过四舍五入到最接近的整数，我们不会得到正确的解决方案。

教程 中给出了其他示例。

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