newton_krylov#
- scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#
使用 Krylov 近似逆雅可比矩阵查找函数的根。
此方法适用于解决大规模问题。
- 参数:
- Ffunction(x) -> f
要查找其根的函数;应该接受并返回一个类数组对象。
- xinarray_like
解的初始猜测
- rdifffloat, 可选
在数值微分中使用的相对步长。
- methodstr 或 callable, 可选
用于近似雅可比矩阵的 Krylov 方法。可以是字符串,也可以是实现与
scipy.sparse.linalg
中迭代求解器相同接口的函数。如果为字符串,则需要是以下之一:'lgmres'
,'gmres'
,'bicgstab'
,'cgs'
,'minres'
,'tfqmr'
。- inner_maxiterint, 可选
传递给“内部” Krylov 求解器的参数:最大迭代次数。即使未达到指定的容差,迭代也会在 maxiter 步后停止。
- inner_MLinearOperator 或 InverseJacobian
内部 Krylov 迭代的预处理器。请注意,您也可以使用逆雅可比矩阵作为(自适应)预处理器。例如,
>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian >>> from scipy.optimize import InverseJacobian >>> jac = BroydenFirst() >>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))
如果预处理器有一个名为“update”的方法,它将在每个非线性步骤之后调用
update(x, f)
,其中x
给出当前点,f
给出当前函数值。- outer_kint, 可选
在 LGMRES 非线性迭代中保持的子空间大小。有关详细信息,请参阅
scipy.sparse.linalg.lgmres
。- inner_kwargskwargs
“内部” Krylov 求解器(使用 method 定义)的关键字参数。参数名称必须以 inner_ 前缀开头,该前缀将在传递给内部方法之前被剥离。有关详细信息,请参阅例如
scipy.sparse.linalg.gmres
。- iterint, 可选
要执行的迭代次数。如果省略(默认),则执行满足容差所需的次数。
- verbosebool, 可选
在每次迭代时将状态打印到 stdout。
- maxiterint, 可选
要执行的最大迭代次数。如果需要更多次迭代才能满足收敛,则会引发
NoConvergence
。- f_tolfloat, 可选
残差的绝对容差(以最大范数表示)。如果省略,则默认值为 6e-6。
- f_rtolfloat, 可选
残差的相对容差。如果省略,则不使用。
- x_tolfloat, 可选
从雅可比矩阵近似确定的绝对最小步长。如果步长小于此值,则优化成功终止。如果省略,则不使用。
- x_rtolfloat, 可选
相对最小步长。如果省略,则不使用。
- tol_normfunction(vector) -> scalar, 可选
在收敛检查中使用的范数。默认值为最大范数。
- line_search{None, ‘armijo’ (默认), ‘wolfe’}, 可选
使用哪种类型的线搜索来确定雅可比矩阵近似给出的方向上的步长。默认为 'armijo'。
- callbackfunction, 可选
可选的回调函数。它在每次迭代时被调用,如
callback(x, f)
,其中 x 是当前解,f 是相应的残差。
- 返回:
- solndarray
一个数组(与 x0 的数组类型相似),包含最终解。
- 引发:
- NoConvergence
当未找到解时。
另请参阅
root
多元函数求根算法的接口。特别参见
method='krylov'
。scipy.sparse.linalg.gmres
scipy.sparse.linalg.lgmres
注释
此函数实现了一个 Newton-Krylov 求解器。基本思想是使用迭代 Krylov 方法计算雅可比矩阵的逆矩阵。这些方法只需要评估雅可比矩阵-向量积,这可以通过有限差分方便地近似为
\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]由于使用了迭代矩阵逆,这些方法可以处理大型非线性问题。
SciPy 的
scipy.sparse.linalg
模块提供了一系列 Krylov 求解器可供选择。这里的默认值是 lgmres,它是重启 GMRES 迭代的变体,它重用先前牛顿步中获得的一些信息,以在后续步骤中反转雅可比矩阵。有关 Newton-Krylov 方法的回顾,请参阅例如 [1],有关 LGMRES 稀疏逆方法,请参阅 [2]。
参考文献
[1]C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, SIAM, pp.57-83, 2003. DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3
[2]D.A. Knoll and D.E. Keyes, J. Comp. Phys. 193, 357 (2004). DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010
[3]A.H. Baker and E.R. Jessup and T. Manteuffel, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005). DOI:10.1137/S0895479803422014
示例
以下函数定义了一个非线性方程组
>>> def fun(x): ... return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0, ... 0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]
可以按如下方式获得解。
>>> from scipy import optimize >>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0]) >>> sol array([0.66731771, 0.66536458])