scipy.optimize.

newton_krylov#

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

使用 Krylov 近似逆雅可比矩阵，找到函数的根。

此方法适用于解决大规模问题。

参数:
F函数(x) -> f

要查找其根的函数；应接受并返回一个类数组对象。

xin类数组对象

解的初始猜测

rdiff浮点数，可选

数值微分中使用的相对步长。

method字符串或可调用对象，可选

用于近似雅可比矩阵的 Krylov 方法。可以是字符串，也可以是实现与 scipy.sparse.linalg 中迭代求解器相同接口的函数。如果是字符串，则必须是以下之一：'lgmres'、'gmres'、'bicgstab'、'cgs'、'minres'、'tfqmr'。

默认为 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_maxiter整型，可选

传递给“内部”Krylov 求解器的参数：最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也将在 maxiter 步后停止。

inner_M线性运算符或逆雅可比矩阵

内部 Krylov 迭代的预处理器。请注意，您也可以使用逆雅可比矩阵作为（自适应）预处理器。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果预处理器有一个名为“update”的方法，则在每个非线性步骤后，它将作为 update(x, f) 被调用，其中 x 表示当前点，f 表示当前函数值。

outer_k整型，可选

LGMRES 非线性迭代中保留的子空间大小。详见 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_kwargs关键字参数

“内部”Krylov 求解器（由 method 定义）的关键字参数。参数名称必须以 inner_ 前缀开头，该前缀将在传递给内部方法之前被剥离。例如，详见 scipy.sparse.linalg.gmres。

iter整型，可选

迭代次数。如果省略（默认），则根据需要进行迭代以满足容差。

verbose布尔型，可选

在每次迭代时将状态打印到标准输出。

maxiter整型，可选

最大迭代次数。如果需要更多迭代才能满足收敛条件，则会引发 NoConvergence 异常。

f_tol浮点数，可选

残差的绝对容差（最大范数）。如果省略，默认为 6e-6。

f_rtol浮点数，可选

残差的相对容差。如果省略，则不使用。

x_tol浮点数，可选

根据雅可比近似确定的绝对最小步长。如果步长小于此值，则优化成功终止。如果省略，则不使用。

x_rtol浮点数，可选

相对最小步长。如果省略，则不使用。

tol_norm函数(向量) -> 标量，可选

收敛检查中使用的范数。默认为最大范数。

line_search{None, ‘armijo’ (默认), ‘wolfe’}，可选

用于确定雅可比近似给定方向步长的线搜索类型。默认为“armijo”。

callback函数，可选

可选的回调函数。在每次迭代时，它会作为 callback(x, f) 被调用，其中 x 是当前解，f 是相应的残差。

返回:
solndarray

包含最终解的数组（与 x0 类似的数组类型）。

引发:
NoConvergence

未找到解决方案时。

另请参阅

root

多变量函数求根算法的接口。特别是请参阅 method='krylov'。

scipy.sparse.linalg.gmres
scipy.sparse.linalg.lgmres

备注

此函数实现了牛顿-Krylov 求解器。其基本思想是使用迭代 Krylov 方法计算雅可比矩阵的逆。这些方法仅需评估雅可比-向量积，这可以通过有限差分方便地近似：

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由于使用了迭代矩阵求逆，这些方法可以处理大型非线性问题。

SciPy 的 scipy.sparse.linalg 模块提供了一系列 Krylov 求解器可供选择。这里的默认值是 lgmres，它是重启 GMRES 迭代的一种变体，它重用前一个牛顿步骤中获得的一些信息，以便在后续步骤中反转雅可比矩阵。

关于牛顿-Krylov 方法的综述，例如请参阅 [1]；关于 LGMRES 稀疏逆方法，请参阅 [2]。

参考文献

[1]

C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, SIAM, pp.57-83, 2003. DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A. Knoll and D.E. Keyes, J. Comp. Phys. 193, 357 (2004). DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker and E.R. Jessup and T. Manteuffel, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005). DOI:10.1137/S0895479803422014

示例

以下函数定义了一个非线性方程组

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

解可以按如下方式获得。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])
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