scipy.optimize.

newton_krylov#

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

使用 Krylov 近似逆雅可比矩阵查找函数的根。

此方法适用于解决大规模问题。

参数:

Ffunction(x) -> f

要查找其根的函数；应该接受并返回一个类数组对象。

xinarray_like

解的初始猜测

rdifffloat, 可选

在数值微分中使用的相对步长。

methodstr 或 callable, 可选

用于近似雅可比矩阵的 Krylov 方法。可以是字符串，也可以是实现与 scipy.sparse.linalg 中迭代求解器相同接口的函数。如果为字符串，则需要是以下之一：'lgmres', 'gmres', 'bicgstab', 'cgs', 'minres', 'tfqmr'。

默认值为 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_maxiterint, 可选

传递给“内部” Krylov 求解器的参数：最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。

inner_MLinearOperator 或 InverseJacobian

内部 Krylov 迭代的预处理器。请注意，您也可以使用逆雅可比矩阵作为（自适应）预处理器。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果预处理器有一个名为“update”的方法，它将在每个非线性步骤之后调用 update(x, f)，其中 x 给出当前点，f 给出当前函数值。

outer_kint, 可选

在 LGMRES 非线性迭代中保持的子空间大小。有关详细信息，请参阅 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_kwargskwargs

“内部” Krylov 求解器（使用 method 定义）的关键字参数。参数名称必须以 inner_ 前缀开头，该前缀将在传递给内部方法之前被剥离。有关详细信息，请参阅例如 scipy.sparse.linalg.gmres。

iterint, 可选

要执行的迭代次数。如果省略（默认），则执行满足容差所需的次数。

verbosebool, 可选

在每次迭代时将状态打印到 stdout。

maxiterint, 可选

要执行的最大迭代次数。如果需要更多次迭代才能满足收敛，则会引发 NoConvergence。

f_tolfloat, 可选

残差的绝对容差（以最大范数表示）。如果省略，则默认值为 6e-6。

f_rtolfloat, 可选

残差的相对容差。如果省略，则不使用。

x_tolfloat, 可选

从雅可比矩阵近似确定的绝对最小步长。如果步长小于此值，则优化成功终止。如果省略，则不使用。

x_rtolfloat, 可选

相对最小步长。如果省略，则不使用。

tol_normfunction(vector) -> scalar, 可选

在收敛检查中使用的范数。默认值为最大范数。

line_search{None, ‘armijo’ (默认), ‘wolfe’}, 可选

使用哪种类型的线搜索来确定雅可比矩阵近似给出的方向上的步长。默认为 'armijo'。

callbackfunction, 可选

可选的回调函数。它在每次迭代时被调用，如 callback(x, f)，其中 x 是当前解，f 是相应的残差。

返回:

solndarray: 一个数组（与 x0 的数组类型相似），包含最终解。

引发:

NoConvergence: 当未找到解时。

另请参阅

root: 多元函数求根算法的接口。特别参见 method='krylov'。
scipy.sparse.linalg.gmres
scipy.sparse.linalg.lgmres

注释

此函数实现了一个 Newton-Krylov 求解器。基本思想是使用迭代 Krylov 方法计算雅可比矩阵的逆矩阵。这些方法只需要评估雅可比矩阵-向量积，这可以通过有限差分方便地近似为

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由于使用了迭代矩阵逆，这些方法可以处理大型非线性问题。

SciPy 的 scipy.sparse.linalg 模块提供了一系列 Krylov 求解器可供选择。这里的默认值是 lgmres，它是重启 GMRES 迭代的变体，它重用先前牛顿步中获得的一些信息，以在后续步骤中反转雅可比矩阵。

有关 Newton-Krylov 方法的回顾，请参阅例如 [1]，有关 LGMRES 稀疏逆方法，请参阅 [2]。

参考文献

[1]

C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, SIAM, pp.57-83, 2003. DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A. Knoll and D.E. Keyes, J. Comp. Phys. 193, 357 (2004). DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker and E.R. Jessup and T. Manteuffel, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005). DOI:10.1137/S0895479803422014

示例

以下函数定义了一个非线性方程组

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

可以按如下方式获得解。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])