scipy.sparse.linalg.

gmres#

scipy.sparse.linalg.gmres(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, restart=None, maxiter=None, M=None, callback=None, callback_type=None)[source]#

使用广义最小残差 (GMRES) 迭代法求解 Ax = b。

参数:
A{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，A 可以是线性算子，它可以通过例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 来产生 Ax。

bndarray

线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。

x0ndarray

解的初始猜测（默认情况下为零向量）。

atol, rtolfloat

收敛测试的参数。为了收敛，norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) 应该满足。默认值为 atol=0. 和 rtol=1e-5。

restartint，可选

重启之间的迭代次数。较大的值会增加迭代成本，但可能需要用于收敛。如果省略，则使用 min(20, n)。

maxiterint，可选

最大迭代次数（重启周期）。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。请参见 callback_type。

M{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

A 的预条件器的逆。M 应该近似于 A 的逆并且易于求解（参见注释）。有效的预条件会显着提高收敛速度，这意味着达到给定误差容差所需的迭代次数更少。默认情况下，不使用预条件器。在这个实现中，使用左预条件，并且最小化预条件残差。但是，最终收敛将根据 b - A @ x 残差进行测试。

callbackfunction

用户提供的函数，在每次迭代后调用。它被调用为 callback(args)，其中 args 由 callback_type 选择。

callback_type{‘x’, ‘pr_norm’, ‘legacy’}，可选
请求的回调函数参数

  • x：当前迭代（ndarray），在每次重启时调用

  • pr_norm：相对（预条件）残差范数（float），在每次内部迭代时调用

  • legacy（默认）：与 pr_norm 相同，但也会改变 maxiter 的含义，使其统计内部迭代次数而不是重启周期。

如果未设置 callback，则此关键字无效。

返回值:
xndarray

收敛的解。

infoint
提供收敛信息

0：成功退出 >0：未达到容差收敛，迭代次数

参见

LinearOperator

注释

选择预条件器 P，使得 P 接近 A 但易于求解。此例程所需的预条件器参数为 M = P^-1。最好不要显式计算逆。相反，使用以下模板来生成 M

# Construct a linear operator that computes P^-1 @ x.
import scipy.sparse.linalg as spla
M_x = lambda x: spla.spsolve(P, x)
M = spla.LinearOperator((n, n), M_x)

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import gmres
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = gmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True
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