lgmres#
- scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False)[source]#
使用 LGMRES 算法求解
Ax = b。LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重启 GMRES 中收敛的一些问题，并且通常以更少的迭代次数收敛。
- 参数:
- A{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}
线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，
A可以是一个线性算子，可以使用例如scipy.sparse.linalg.LinearOperator生成Ax。- bndarray
线性系统的右手边。形状为 (N,) 或 (N,1)。
- x0ndarray
解的起始猜测值。
- rtol, atolfloat，可选
收敛性测试的参数。为了收敛，应该满足
norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默认值为rtol=1e-5，atol的默认值为0.0。- maxiterint，可选
最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。
- M{稀疏数组, ndarray, LinearOperator}，可选
A 的预处理器。预处理器应近似于 A 的逆。有效的预处理显着提高收敛速度，这意味着需要更少的迭代才能达到给定的误差容限。
- callbackfunction，可选
用户提供的函数，用于在每次迭代后调用。它被调用为 callback(xk)，其中 xk 是当前解向量。
- inner_mint，可选
每次外部迭代的内部 GMRES 迭代次数。
- outer_kint，可选
在内部 GMRES 迭代之间携带的向量数。根据 [1]，较好的值在 1…3 的范围内。但是，请注意，如果您想使用额外的向量来加速求解多个相似问题，则较大的值可能是有益的。
- outer_v元组列表，可选
包含向量和相应矩阵向量乘积的元组
(v, Av)的列表，用于增强 Krylov 子空间，并在内部 GMRES 迭代之间携带。如果应重新评估矩阵向量乘积，则元素Av可以为 None。lgmres就地修改此参数，并且可以在求解相似问题时用于传入和传出算法的“猜测”向量。- store_outer_Avbool，可选
LGMRES 是否应存储 A@v 以及 outer_v 列表中向量 v。默认值为 True。
- prepend_outer_vbool，可选
是否将 outer_v 增强向量放在 Krylov 迭代之前。在标准 LGMRES 中，prepend_outer_v=False。
- 返回值:
- xndarray
收敛的解。
- infoint
提供收敛信息
0 : 成功退出
>0 : 未达到容差的收敛，迭代次数
<0 : 非法输入或崩溃
注释
LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重启 GMRES 中由于交替残差向量而导致的收敛速度降低。通常，它在某种程度上优于具有可比内存要求的 GMRES(m)，或者至少不会差太多。
此算法的另一个优点是，您可以在 outer_v 参数中为其提供“猜测”向量，以增强 Krylov 子空间。如果解接近这些向量的跨度，则算法收敛得更快。如果在非线性步骤中 Jacobian 矩阵通常变化很小的情况下，需要一个接一个地反转几个非常相似的矩阵，例如在 Newton-Krylov 迭代中，这可能很有用。
参考文献
示例
>>> import numpy as np >>> from scipy.sparse import csc_array >>> from scipy.sparse.linalg import lgmres >>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float) >>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float) >>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5) >>> print(exitCode) # 0 indicates successful convergence 0 >>> np.allclose(A.dot(x), b) True