scipy.sparse.linalg.

lgmres#

scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False)[源代码]#

使用 LGMRES 算法求解矩阵方程。

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重启 GMRES 中收敛的一些问题，并且通常在更少的迭代次数内收敛。

参数:

A{稀疏数组，ndarray，线性算子}: 线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，A 可以是一个线性算子，可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。
bndarray: 线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。
x0ndarray: 解的起始猜测。
rtol, atolfloat，可选: 收敛测试的参数。对于收敛，应满足 norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默认值为 rtol=1e-5，atol 的默认值为 0.0。
maxiterint，可选: 最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。
M{稀疏数组，ndarray，线性算子}，可选: A 的预处理器。预处理器应近似 A 的逆。有效的预处理会显着提高收敛速度，这意味着需要更少的迭代才能达到给定的误差容限。
callback函数，可选: 用户提供的函数，在每次迭代后调用。它作为 callback(xk) 调用，其中 xk 是当前解向量。
inner_mint，可选: 每次外部迭代的内部 GMRES 迭代次数。
outer_kint，可选: 在内部 GMRES 迭代之间携带的向量数。根据 [1]，较好的值在 1…3 的范围内。但是，请注意，如果您想使用额外的向量来加速解决多个类似的问题，则较大的值可能会有益。
outer_v元组列表，可选: 包含向量的元组 (v, Av) 和相应的矩阵向量乘积的列表，用于增强 Krylov 子空间，并在内部 GMRES 迭代之间携带。如果应重新评估矩阵向量乘积，则元素 Av 可以为 None。此参数由 lgmres 就地修改，并且可以在解决类似问题时用于传入和传出算法的“猜测”向量。
store_outer_Avbool，可选: LGMRES 是否应在 outer_v 列表中存储 A@v 以及向量 v。默认值为 True。
prepend_outer_vbool，可选: 是否将 outer_v 增强向量放在 Krylov 迭代之前。在标准 LGMRES 中，prepend_outer_v=False。

返回:

xndarray

收敛的解。

infoint

提供收敛信息

0 : 成功退出

>0 : 未达到容差的收敛，迭代次数

<0 : 非法输入或崩溃

注释

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免由于交替残差向量而导致重启 GMRES 中的收敛速度减慢。通常，它在某种程度上通常优于具有可比内存要求的 GMRES(m)，或者至少不会差太多。

此算法的另一个优点是，您可以向其提供 outer_v 参数中的“猜测”向量，以增强 Krylov 子空间。如果解位于这些向量的跨度附近，则算法收敛速度更快。如果需要一个接一个地反转几个非常相似的矩阵，例如在牛顿-克雷洛夫迭代中，其中雅可比矩阵在非线性步骤中通常变化不大，这可能会很有用。

参考文献

[1] (1,2,3)

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，“一种加速重启 GMRES 收敛的技术”，SIAM J. Matrix Anal。应用。 26, 962 (2005)。

[2] (1,2)

A.H. Baker，“关于改进线性求解器重启 GMRES 的性能”，博士论文，科罗拉多大学 (2003)。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_array
>>> from scipy.sparse.linalg import lgmres
>>> A = csc_array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True