lgmres#
- scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False)[source]#
使用 LGMRES 算法求解矩阵方程。
LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重启 GMRES 中的收敛问题，通常收敛迭代次数更少。
- 参数:
- A{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}
线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，
A可以是线性算子，可以使用例如scipy.sparse.linalg.LinearOperator生成Ax。- bndarray
线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。
- x0ndarray
解的初始猜测。
- rtol, atolfloat，可选
收敛测试的参数。为了收敛，
norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)应该满足。默认值为rtol=1e-5，atol的默认值为0.0。- maxiterint，可选
最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。
- M{稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}，可选
A 的预处理器。预处理器应该近似于 A 的逆矩阵。有效的预处理显着提高了收敛速度，这意味着达到给定误差容差所需的迭代次数更少。
- callback函数，可选
在每次迭代后调用的用户提供的函数。它以 callback(xk) 的形式调用，其中 xk 是当前解向量。
- inner_mint，可选
每次外部迭代的内部 GMRES 迭代次数。
- outer_kint，可选
在内部 GMRES 迭代之间要携带的向量数量。根据 [1]，好的值在 1…3 的范围内。但是，请注意，如果您想使用额外的向量来加速解决多个类似问题，则更大的值可能是有益的。
- outer_v元组列表，可选
包含元组
(v, Av)的列表，其中向量和相应的矩阵向量积用于增强 Krylov 子空间，并在内部 GMRES 迭代之间传递。元素Av可以为 None，如果需要重新计算矩阵向量积。此参数由lgmres就地修改，可用于在解决类似问题时将“猜测”向量传递进出算法。- store_outer_Avbool，可选
LGMRES 是否应该在 outer_v 列表中除了向量 v 之外还存储 A@v。默认为 True。
- prepend_outer_vbool，可选
是否将 outer_v 增强向量放在 Krylov 迭代之前。在标准 LGMRES 中，prepend_outer_v=False。
- 返回值:
- xndarray
收敛的解。
- infoint
提供收敛信息
0 : 退出成功
>0 : 未达到容差收敛，迭代次数
<0 : 非法输入或故障
备注
LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免由于残差向量交替而导致重启 GMRES 中收敛速度减慢。通常，它在某种程度上优于具有可比内存要求的 GMRES(m)，或者至少不会比 GMRES(m) 差太多。
此算法的另一个优点是，您可以向它提供 outer_v 参数中的“猜测”向量，这些向量会增强 Krylov 子空间。如果解位于这些向量的跨度附近，则算法收敛得更快。如果需要依次反转多个非常相似的矩阵，这很有用，例如在牛顿-克里洛夫迭代中，雅可比矩阵在非线性步骤中通常变化很小。
参考文献
示例
>>> import numpy as np >>> from scipy.sparse import csc_matrix >>> from scipy.sparse.linalg import lgmres >>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float) >>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float) >>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5) >>> print(exitCode) # 0 indicates successful convergence 0 >>> np.allclose(A.dot(x), b) True