shgo#
- scipy.optimize.shgo(func, bounds, args=(), constraints=None, n=100, iters=1, callback=None, minimizer_kwargs=None, options=None, sampling_method='simplicial', *, workers=1)[源代码]#
使用 SHG 优化查找函数的全局最小值。
SHGO 代表“单纯同调全局优化”。
- 参数:
- func可调用对象
要最小化的目标函数。必须采用
f(x, *args)的形式，其中x是一个一维数组形式的参数，args是一个元组，包含完全指定函数所需的任何其他固定参数。- bounds序列或
Bounds 变量的界限。有两种方法可以指定界限
Bounds类的实例。x 中每个元素的
(min, max)对序列。
- args元组，可选
完全指定目标函数所需的任何其他固定参数。
- constraints{Constraint, dict} 或 {Constraint, dict} 的列表，可选
约束定义。仅适用于 COBYLA、COBYQA、SLSQP 和 trust-constr。有关指定约束的更多详细信息，请参阅教程 [5] 。
注意
目前只有 COBYLA、COBYQA、SLSQP 和 trust-constr 本地最小化方法支持约束参数。如果局部优化问题中使用的
constraints序列未在minimizer_kwargs中定义，并且使用了受约束的方法，则将使用全局constraints。（在minimizer_kwargs中定义constraints序列意味着不会添加constraints，因此如果需要添加等式约束等，则需要将constraints中的不等式函数添加到minimizer_kwargs中）。COBYLA 仅支持不等式约束。在 1.11.0 版本中更改:
constraints接受NonlinearConstraint,LinearConstraint。- n整数，可选
用于构建单纯复形的采样点数。对于默认的
simplicial采样方法，将生成 2**dim + 1 个采样点，而不是默认的n=100。对于所有其他指定的值，将生成 n 个采样点。对于sobol、halton和其他任意 sampling_methods，将生成n=100或其他指定数量的采样点。- iters整数，可选
用于构建单纯复形的迭代次数。默认为 1。
- callback可调用对象，可选
在每次迭代后调用，形式为
callback(xk)，其中xk是当前的参数向量。- minimizer_kwargs字典，可选
要传递给最小化器
scipy.optimize.minimize的额外关键字参数。一些重要的选项可能是- method字符串
最小化方法。如果未给出，则根据问题是否具有约束或界限，选择 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 中的一种。
- args元组
传递给目标函数 (
func) 及其导数（雅可比矩阵、黑塞矩阵）的额外参数。- options字典，可选
请注意，默认情况下，容差指定为
{ftol: 1e-12}
- options字典，可选
求解器选项的字典。为全局例程指定的许多选项也传递给
scipy.optimize.minimize例程。也传递给局部例程的选项标有“(L)”。停止标准，如果满足任何指定的标准，算法将终止。但是，默认算法不需要指定任何标准
- maxfev整数 (L)
可行域中函数评估的最大次数。（注意，只有支持此选项的方法才会以精确指定的数值终止例程。否则，该标准仅会在全局迭代期间终止）
- f_min浮点数
指定最小目标函数值，如果已知的话。
- f_tol浮点数
停止标准中 f 值的精度目标。请注意，如果全局例程中的采样点在此容差范围内，则全局例程也将终止。
- maxiter整数
要执行的最大迭代次数。
- maxev整数
要执行的最大采样评估次数（包括在不可行点中搜索）。
- maxtime浮点数
允许的最大处理运行时间
- minhgrd整数
最小同调群秩差。目标函数的同调群在每次迭代期间（近似）计算。此群的秩与目标函数中局部凸子域的数量一一对应（在足够的采样点之后，每个子域都包含一个唯一的全局最小值）。如果对于指定的
maxhgrd迭代，迭代之间的 hgr 差为 0，则算法将终止。
目标函数知识
- symmetry列表或布尔值
指定目标函数是否包含对称变量。在完全对称的情况下，搜索空间（因此性能）最多会减少 O(n!) 倍。如果指定了 True，则所有变量将设置为与第一个变量对称。默认为 False。
例如 f(x) = (x_1 + x_2 + x_3) + (x_4)**2 + (x_5)**2 + (x_6)**2
在此等式中，x_2 和 x_3 与 x_1 对称，而 x_5 和 x_6 与 x_4 对称，这可以指定给求解器为
symmetry = [0, # Variable 1 0, # symmetric to variable 1 0, # symmetric to variable 1 3, # Variable 4 3, # symmetric to variable 4 3, # symmetric to variable 4 ]
- jac布尔值或可调用对象，可选
目标函数的雅可比矩阵（梯度）。仅适用于 CG、BFGS、Newton-CG、L-BFGS-B、TNC、SLSQP、dogleg、trust-ncg。如果
jac是布尔值并且为 True，则假定fun返回梯度以及目标函数。如果为 False，则将以数值方式估计梯度。jac也可以是一个返回目标函数梯度的可调用对象。在这种情况下，它必须接受与fun相同的参数。（自动传递给scipy.optimize.minimize）- hess, hessp可调用对象，可选
目标函数的黑塞矩阵（二阶导数矩阵），或者目标函数的黑塞矩阵乘以一个任意向量 p。仅适用于 Newton-CG、dogleg、trust-ncg 方法。只需提供
hessp或hess中的一个。如果提供了hess，则会忽略hessp。如果既没有提供hess也没有提供hessp，则黑塞矩阵积将使用jac上的有限差分进行近似。hessp必须计算黑塞矩阵乘以一个任意向量。（自动传递给scipy.optimize.minimize）
算法设置
- minimize_every_iterbool
如果为 True，则有希望的全局采样点将在每次迭代中传递给局部最小化例程。如果为 True，则只运行最终的最小化器池。默认为 True。
- local_iterint
每次迭代只评估几个最佳最小化器池候选点。如果为 False，则所有潜在点都将传递给局部最小化例程。
- infty_constraintsbool
如果为 True，则任何超出可行域的采样点都将被保存，并赋予目标函数值
inf。如果为 False，则这些点将被丢弃。使用此功能可能会在找到全局最小值之前提高函数评估的性能，指定 False 将使用较少的内存，但会略微降低性能。默认为 True。
反馈
- dispbool (L)
设置为 True 以打印收敛消息。
- sampling_methodstr 或 function, optional
当前内置的采样方法选项有
halton、sobol和simplicial。默认的simplicial在有限时间内提供了收敛到全局最小值的理论保证。halton和sobol方法在采样点生成方面更快，但代价是失去了保证收敛性。它更适合大多数收敛相对较快的“较简单”的问题。用户定义的采样函数必须接受两个参数，每次调用n个维度为dim的采样点，并输出形状为 n x dim 的采样点数组。- workersint 或 map-like callable, optional
并行采样并运行局部串行最小化。提供 -1 以使用所有可用的 CPU 核心，或提供一个 int 以使用那么多进程（使用
multiprocessing.Pool）。或者，提供一个类似 map 的可调用对象，例如 multiprocessing.Pool.map 用于并行评估。此评估以
workers(func, iterable)的形式执行。要求 func 可 pickle 化。在版本 1.11.0 中添加。
- 返回:
- resOptimizeResult
优化结果表示为
OptimizeResult对象。重要的属性有：x，对应于全局最小值的解数组；fun，全局解的函数输出；xl，局部最小值解的有序列表；funl，相应局部解的函数输出；success，一个指示优化器是否成功退出的布尔标志；message，描述终止原因；nfev，包括采样调用的目标函数评估总次数；nlfev，所有局部搜索优化累计的目标函数评估总次数；nit，全局例程执行的迭代次数。
注释
使用单纯形同调全局优化的全局优化 [1]。适用于求解全局最优的一般用途 NLP 和黑盒优化问题（低维问题）。
一般来说，优化问题的形式为
minimize f(x) subject to g_i(x) >= 0, i = 1,...,m h_j(x) = 0, j = 1,...,p
其中 x 是一个或多个变量的向量。
f(x)是目标函数R^n -> R，g_i(x)是不等式约束，h_j(x)是等式约束。可选地，还可以使用 bounds 参数指定 x 中每个元素的下限和上限。
虽然 SHGO 的大多数理论优势仅在
f(x)是利普希茨光滑函数时得到证明，但如果使用默认采样方法 [1]，该算法也被证明对于f(x)是非连续、非凸和非光滑的更一般情况收敛到全局最优值。可以使用
minimizer_kwargs参数指定局部搜索方法，该参数将传递给scipy.optimize.minimize。默认情况下，使用SLSQP方法。一般来说，如果为问题定义了不等式约束，则建议使用SLSQP、COBYLA或COBYQA局部最小化，因为其他方法不使用约束。halton和sobol方法的点是使用scipy.stats.qmc生成的。可以使用任何其他 QMC 方法。参考文献
[1] (1,2)Endres, SC, Sandrock, C, Focke, WW (2018) “A simplicial homology algorithm for lipschitz optimisation”, Journal of Global Optimization.
[2]Joe, SW and Kuo, FY (2008) “Constructing Sobol’ sequences with better two-dimensional projections”, SIAM J. Sci. Comput. 30, 2635-2654.
[3] (1,2)Hock, W and Schittkowski, K (1981) “Test examples for nonlinear programming codes”, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 187. Springer-Verlag, New York. http://www.ai7.uni-bayreuth.de/test_problem_coll.pdf
[4]Wales, DJ (2015) “Perspective: Insight into reaction coordinates and dynamics from the potential energy landscape”, Journal of Chemical Physics, 142(13), 2015.
示例
首先考虑最小化 Rosenbrock 函数的问题，
rosen>>> from scipy.optimize import rosen, shgo >>> bounds = [(0,2), (0, 2), (0, 2), (0, 2), (0, 2)] >>> result = shgo(rosen, bounds) >>> result.x, result.fun (array([1., 1., 1., 1., 1.]), 2.920392374190081e-18)
请注意，bounds 确定了目标函数的维度，因此是必需的输入，但是您可以使用
None或np.inf之类的对象来指定空 bounds，这些对象将转换为大的浮点数。>>> bounds = [(None, None), ]*4 >>> result = shgo(rosen, bounds) >>> result.x array([0.99999851, 0.99999704, 0.99999411, 0.9999882 ])
接下来，我们考虑 Eggholder 函数，这是一个具有多个局部最小值和一个全局最小值的问题。我们将演示
shgo的参数使用和功能。（https://en.wikipedia.org/wiki/Test_functions_for_optimization）>>> import numpy as np >>> def eggholder(x): ... return (-(x[1] + 47.0) ... * np.sin(np.sqrt(abs(x[0]/2.0 + (x[1] + 47.0)))) ... - x[0] * np.sin(np.sqrt(abs(x[0] - (x[1] + 47.0)))) ... ) ... >>> bounds = [(-512, 512), (-512, 512)]
shgo内置了低差异采样序列。首先，我们将输入 64 个 Sobol' 序列的初始采样点>>> result = shgo(eggholder, bounds, n=64, sampling_method='sobol') >>> result.x, result.fun (array([512. , 404.23180824]), -959.6406627208397)
shgo还有对找到的任何其他局部最小值的返回，可以使用以下方式调用>>> result.xl array([[ 512. , 404.23180824], [ 283.0759062 , -487.12565635], [-294.66820039, -462.01964031], [-105.87688911, 423.15323845], [-242.97926 , 274.38030925], [-506.25823477, 6.3131022 ], [-408.71980731, -156.10116949], [ 150.23207937, 301.31376595], [ 91.00920901, -391.283763 ], [ 202.89662724, -269.38043241], [ 361.66623976, -106.96493868], [-219.40612786, -244.06020508]])
>>> result.funl array([-959.64066272, -718.16745962, -704.80659592, -565.99778097, -559.78685655, -557.36868733, -507.87385942, -493.9605115 , -426.48799655, -421.15571437, -419.31194957, -410.98477763])
这些结果在有许多全局最小值并且需要其他全局最小值的值，或者局部最小值可以提供对系统（例如物理化学中的形态 [4]）的深入了解的应用程序中很有用。
如果我们想找到更多局部最小值，可以增加采样点数量或迭代次数。我们将采样点数量增加到 64，迭代次数从默认的 1 增加到 3。使用
simplicial，这将给我们 64 x 3 = 192 个初始采样点。>>> result_2 = shgo(eggholder, ... bounds, n=64, iters=3, sampling_method='sobol') >>> len(result.xl), len(result_2.xl) (12, 23)
请注意，例如，
n=192, iters=1和n=64, iters=3之间的区别。在第一种情况下，最小化器池中包含的有希望的点仅处理一次。在后一种情况下，它每 64 个采样点处理一次，总共处理 3 次。为了演示如何解决具有非线性约束的问题，请考虑以下 Hock 和 Schittkowski 问题 73（牛饲料）中的示例 [3]
minimize: f = 24.55 * x_1 + 26.75 * x_2 + 39 * x_3 + 40.50 * x_4 subject to: 2.3 * x_1 + 5.6 * x_2 + 11.1 * x_3 + 1.3 * x_4 - 5 >= 0, 12 * x_1 + 11.9 * x_2 + 41.8 * x_3 + 52.1 * x_4 - 21 -1.645 * sqrt(0.28 * x_1**2 + 0.19 * x_2**2 + 20.5 * x_3**2 + 0.62 * x_4**2) >= 0, x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 1 == 0, 1 >= x_i >= 0 for all i
[3] 中给出的近似答案是
f([0.6355216, -0.12e-11, 0.3127019, 0.05177655]) = 29.894378
>>> def f(x): # (cattle-feed) ... return 24.55*x[0] + 26.75*x[1] + 39*x[2] + 40.50*x[3] ... >>> def g1(x): ... return 2.3*x[0] + 5.6*x[1] + 11.1*x[2] + 1.3*x[3] - 5 # >=0 ... >>> def g2(x): ... return (12*x[0] + 11.9*x[1] +41.8*x[2] + 52.1*x[3] - 21 ... - 1.645 * np.sqrt(0.28*x[0]**2 + 0.19*x[1]**2 ... + 20.5*x[2]**2 + 0.62*x[3]**2) ... ) # >=0 ... >>> def h1(x): ... return x[0] + x[1] + x[2] + x[3] - 1 # == 0 ... >>> cons = ({'type': 'ineq', 'fun': g1}, ... {'type': 'ineq', 'fun': g2}, ... {'type': 'eq', 'fun': h1}) >>> bounds = [(0, 1.0),]*4 >>> res = shgo(f, bounds, n=150, constraints=cons) >>> res message: Optimization terminated successfully. success: True fun: 29.894378159142136 funl: [ 2.989e+01] x: [ 6.355e-01 1.137e-13 3.127e-01 5.178e-02] # may vary xl: [[ 6.355e-01 1.137e-13 3.127e-01 5.178e-02]] # may vary nit: 1 nfev: 142 # may vary nlfev: 35 # may vary nljev: 5 nlhev: 0
>>> g1(res.x), g2(res.x), h1(res.x) (-5.062616992290714e-14, -2.9594104944408173e-12, 0.0)