scipy.optimize.

shgo#

scipy.optimize.shgo(func, bounds, args=(), constraints=None, n=100, iters=1, callback=None, minimizer_kwargs=None, options=None, sampling_method='simplicial', *, workers=1)[源代码]#

使用SHG优化算法寻找函数的全局最小值。

SHGO代表“单纯同调全局优化”。

参数:

func可调用对象

要最小化的目标函数。必须是 f(x, *args) 的形式，其中 x 是一个一维数组形式的参数，args 是一个元组，包含完全指定函数所需的任何额外固定参数。

bounds序列或 Bounds

变量的边界。有两种方法可以指定边界

Bounds 类的实例。
对于 x 中每个元素的 (min, max) 对序列。

args元组，可选

完全指定目标函数所需的任何额外固定参数。

constraints{Constraint, dict} 或 {Constraint, dict} 列表，可选

约束定义。仅适用于 COBYLA、COBYQA、SLSQP 和 trust-constr。有关指定约束的更多详细信息，请参阅教程 [5]。

注意

目前只有 COBYLA、COBYQA、SLSQP 和 trust-constr 局部最小化方法支持约束参数。如果在局部优化问题中使用的 constraints 序列未在 minimizer_kwargs 中定义，并且使用了受约束的方法，则将使用全局 constraints。（在 minimizer_kwargs 中定义 constraints 序列意味着不会添加 constraints，因此如果需要添加等式约束等，则 constraints 中的不等式函数也需要添加到 minimizer_kwargs 中）。COBYLA 仅支持不等式约束。

版本 1.11.0 中的变更: constraints 接受 NonlinearConstraint, LinearConstraint。

n整型，可选

用于构建单纯复形的采样点数量。对于默认的 simplicial 采样方法，将生成 2**dim + 1 个采样点，而不是默认的 n=100。对于所有其他指定值，将生成 n 个采样点。对于 sobol、halton 和其他任意 sampling_methods，将生成 n=100 或其他指定数量的采样点。

iters整型，可选

用于构建单纯复形的迭代次数。默认为 1。

callback可调用对象，可选

在每次迭代后调用，形式为 callback(xk)，其中 xk 是当前参数向量。

minimizer_kwargs字典，可选

传递给最小化器 scipy.optimize.minimize 的额外关键字参数。一些重要的选项包括

method字符串: 最小化方法。如果未给出，则根据问题是否有约束或边界，选择 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 之一。
args元组: 传递给目标函数 (func) 及其导数（雅可比矩阵、海森矩阵）的额外参数。
options字典，可选: 请注意，默认情况下，容差指定为 {ftol: 1e-12}

options字典，可选

求解器选项的字典。为全局例程指定的许多选项也传递给 scipy.optimize.minimize 例程。同时传递给局部例程的选项标记为“(L)”。

停止条件，如果满足任何指定条件，算法将终止。但是，默认算法不需要指定任何条件

maxfev整型 (L): 可行域中函数评估的最大次数。（请注意，只有支持此选项的方法才能在精确指定的数值处终止例程。否则，该标准只会在全局迭代期间终止）
f_min浮点型: 如果已知，请指定最小目标函数值。
f_tol浮点型: 停止准则中 f 值的精度目标。请注意，如果全局例程中的采样点在此容差范围内，全局例程也将终止。
maxiter整型: 要执行的最大迭代次数。
maxev整型: 要执行的最大采样评估次数（包括在不可行点中搜索）。
maxtime浮点型: 允许的最大处理运行时长
minhgrd整型: 最小同调群秩差。目标函数的同调群在每次迭代期间（近似地）计算。该群的秩与目标函数中局部凸子域的数量有一一对应关系（在足够的采样点后，每个子域都包含一个唯一的全局最小值）。如果在 maxhgrd 指定的迭代次数内，hgr 之间的差异为 0，则算法将终止。

目标函数知识

symmetry列表或布尔型

指定目标函数是否包含对称变量。在完全对称的情况下，搜索空间（以及性能）最多可减少 O(n!) 倍。如果指定 True，则所有变量将设置为与第一个变量对称。默认为 False。

例如，f(x) = (x_1 + x_2 + x_3) + (x_4)**2 + (x_5)**2 + (x_6)**2

在此方程中，x_2 和 x_3 对称于 x_1，而 x_5 和 x_6 对称于 x_4，这可以指定给求解器为

symmetry = [0,  # Variable 1
            0,  # symmetric to variable 1
            0,  # symmetric to variable 1
            3,  # Variable 4
            3,  # symmetric to variable 4
            3,  # symmetric to variable 4
            ]

jac布尔型或可调用对象，可选

目标函数的雅可比（梯度）。仅适用于 CG、BFGS、Newton-CG、L-BFGS-B、TNC、SLSQP、dogleg、trust-ncg。如果 jac 是布尔型且为 True，则假定 fun 返回梯度以及目标函数。如果为 False，则梯度将进行数值估计。jac 也可以是返回目标梯度的可调用对象。在这种情况下，它必须接受与 fun 相同的参数。（自动传递给 scipy.optimize.minimize）

hess, hessp可调用对象，可选

目标函数的海森（二阶导数矩阵）或目标函数乘以任意向量 p 的海森。仅适用于 Newton-CG、dogleg、trust-ncg。只需提供 hessp 或 hess 中的一个。如果提供了 hess，则 hessp 将被忽略。如果既未提供 hess 也未提供 hessp，则海森积将使用 jac 上的有限差分进行近似。hessp 必须计算海森乘以任意向量。（自动传递给 scipy.optimize.minimize）

算法设置

minimize_every_iter布尔型: 如果为 True，则有希望的全局采样点将在每次迭代中传递给局部最小化例程。默认值为 True。
local_iter整型: 每次迭代只评估少数最佳最小化器池候选点。如果为 False，则所有潜在点都将传递给局部最小化例程。
infty_constraints布尔型: 如果为 True，则生成的任何超出可行域的采样点都将被保存并赋予目标函数值 inf。如果为 False，则这些点将被丢弃。使用此功能可能会在找到全局最小值之前提高函数评估的性能，而指定 False 将以略微降低性能为代价使用更少的内存。默认为 True。

反馈

disp布尔型 (L): 设置为 True 以打印收敛消息。

sampling_method字符串或函数，可选

当前内置的采样方法选项有 halton、sobol 和 simplicial。默认的 simplicial 提供在有限时间内收敛到全局最小值的理论保证。halton 和 sobol 方法在采样点生成方面更快，但代价是失去了收敛保证。它更适用于大多数收敛速度相对较快的“简单”问题。用户定义的采样函数必须接受两个参数：每次调用时 dim 维的 n 个采样点，并输出一个形状为 n x dim 的采样点数组。

workers整型或类map可调用对象，可选

并行采样并运行局部串行最小化。提供 -1 以使用所有可用的 CPU 核心，或者一个整数以使用相应数量的进程（使用 multiprocessing.Pool）。

或者提供一个类map可调用对象，例如 multiprocessing.Pool.map 进行并行评估。此评估以 workers(func, iterable) 的形式执行。要求 func 可被 pickle。

在 1.11.0 版本中新增。

返回:

resOptimizeResult 对象: 优化结果表示为 OptimizeResult 对象。重要属性包括：x 对应于全局最小值的解数组，fun 全局解处的函数输出，xl 局部最小值解的有序列表，funl 对应局部解处的函数输出，success 布尔标志，指示优化器是否成功退出，message 描述终止原因，nfev 目标函数评估的总次数，包括采样调用，nlfev 所有局部搜索优化产生的目标函数评估总次数，nit 全局例程执行的迭代次数。

注释

使用单纯同调全局优化 [1] 进行全局优化。适用于将通用 NLP 和黑盒优化问题求解到全局最优（低维问题）。

通常，优化问题形式为

minimize f(x) subject to

g_i(x) >= 0,  i = 1,...,m
h_j(x)  = 0,  j = 1,...,p

其中 x 是一个或多个变量的向量。f(x) 是目标函数 R^n -> R，g_i(x) 是不等式约束，h_j(x) 是等式约束。

另外，可以使用 bounds 参数为 x 中的每个元素指定下限和上限。

虽然 SHGO 的大多数理论优势仅在 f(x) 是 Lipschitz 平滑函数时才被证明，但该算法也被证明在 f(x) 是非连续、非凸和非光滑的更一般情况下，如果使用默认采样方法，也能收敛到全局最优 [1]。

可以使用传递给 scipy.optimize.minimize 的 minimizer_kwargs 参数来指定局部搜索方法。默认情况下，使用 SLSQP 方法。通常，如果问题定义了不等式约束，建议使用 SLSQP、COBYLA 或 COBYQA 局部最小化方法，因为其他方法不使用约束。

halton 和 sobol 方法点是使用 scipy.stats.qmc 生成的。可以使用任何其他 QMC 方法。

参考文献

[1] (1,2)

Endres, SC, Sandrock, C, Focke, WW (2018) “A simplicial homology algorithm for lipschitz optimisation”, Journal of Global Optimization.

[2]

Joe, SW and Kuo, FY (2008) “Constructing Sobol’ sequences with better two-dimensional projections”, SIAM J. Sci. Comput. 30, 2635-2654.

[3] (1,2)

Hock, W and Schittkowski, K (1981) “Test examples for nonlinear programming codes”, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 187. Springer-Verlag, New York. http://www.ai7.uni-bayreuth.de/test_problem_coll.pdf

[4]

Wales, DJ (2015) “Perspective: Insight into reaction coordinates and dynamics from the potential energy landscape”, Journal of Chemical Physics, 142(13), 2015.

[5]

https://docs.scipy.org.cn/doc/scipy/tutorial/optimize.html#constrained-minimization-of-multivariate-scalar-functions-minimize

示例

首先考虑最小化 Rosenbrock 函数的问题，rosen

>>> from scipy.optimize import rosen, shgo
>>> bounds = [(0,2), (0, 2), (0, 2), (0, 2), (0, 2)]
>>> result = shgo(rosen, bounds)
>>> result.x, result.fun
(array([1., 1., 1., 1., 1.]), 2.920392374190081e-18)

请注意，边界决定了目标函数的维度，因此是必需的输入，但是您可以使用 None 或 np.inf 等对象指定空边界，这些对象将被转换为大的浮点数。

>>> bounds = [(None, None), ]*4
>>> result = shgo(rosen, bounds)
>>> result.x
array([0.99999851, 0.99999704, 0.99999411, 0.9999882 ])

接下来，我们考虑 Eggholder 函数，这是一个具有多个局部最小值和一个全局最小值的问题。我们将演示参数的使用以及 shgo 的功能。(https://en.wikipedia.org/wiki/Test_functions_for_optimization)

>>> import numpy as np
>>> def eggholder(x):
...     return (-(x[1] + 47.0)
...             * np.sin(np.sqrt(abs(x[0]/2.0 + (x[1] + 47.0))))
...             - x[0] * np.sin(np.sqrt(abs(x[0] - (x[1] + 47.0))))
...             )
...
>>> bounds = [(-512, 512), (-512, 512)]

shgo 内置了低差异采样序列。首先，我们将输入 Sobol’ 序列的 64 个初始采样点

>>> result = shgo(eggholder, bounds, n=64, sampling_method='sobol')
>>> result.x, result.fun
(array([512.        , 404.23180824]), -959.6406627208397)

shgo 也返回找到的任何其他局部最小值，这些可以通过以下方式调用

>>> result.xl
array([[ 512.        ,  404.23180824],
       [ 283.0759062 , -487.12565635],
       [-294.66820039, -462.01964031],
       [-105.87688911,  423.15323845],
       [-242.97926   ,  274.38030925],
       [-506.25823477,    6.3131022 ],
       [-408.71980731, -156.10116949],
       [ 150.23207937,  301.31376595],
       [  91.00920901, -391.283763  ],
       [ 202.89662724, -269.38043241],
       [ 361.66623976, -106.96493868],
       [-219.40612786, -244.06020508]])

>>> result.funl
array([-959.64066272, -718.16745962, -704.80659592, -565.99778097,
       -559.78685655, -557.36868733, -507.87385942, -493.9605115 ,
       -426.48799655, -421.15571437, -419.31194957, -410.98477763])

这些结果在以下应用中非常有用：存在多个全局最小值并需要其他全局最小值的值，或者局部最小值可以为系统提供洞察（例如物理化学中的形态 [4]）。

如果想找到更多的局部最小值，可以增加采样点数量或迭代次数。我们将采样点数量增加到 64，迭代次数从默认的 1 增加到 3。使用 simplicial，这将为我们提供 64 x 3 = 192 个初始采样点。

>>> result_2 = shgo(eggholder,
...                 bounds, n=64, iters=3, sampling_method='sobol')
>>> len(result.xl), len(result_2.xl)
(12, 23)

请注意例如 n=192, iters=1 和 n=64, iters=3 之间的区别。在第一种情况下，最小化器池中包含的有希望的点只处理一次。在后一种情况下，每 64 个采样点处理一次，总共处理 3 次。

为了演示如何解决具有非线性约束的问题，请考虑 Hock 和 Schittkowski 问题 73（牛饲料）中的以下示例 [3]

minimize: f = 24.55 * x_1 + 26.75 * x_2 + 39 * x_3 + 40.50 * x_4

subject to: 2.3 * x_1 + 5.6 * x_2 + 11.1 * x_3 + 1.3 * x_4 - 5    >= 0,

            12 * x_1 + 11.9 * x_2 + 41.8 * x_3 + 52.1 * x_4 - 21
                -1.645 * sqrt(0.28 * x_1**2 + 0.19 * x_2**2 +
                              20.5 * x_3**2 + 0.62 * x_4**2)      >= 0,

            x_1 + x_2 + x_3 + x_4 - 1                             == 0,

            1 >= x_i >= 0 for all i

参考文献 [3] 中给出的近似答案是

f([0.6355216, -0.12e-11, 0.3127019, 0.05177655]) = 29.894378

>>> def f(x):  # (cattle-feed)
...     return 24.55*x[0] + 26.75*x[1] + 39*x[2] + 40.50*x[3]
...
>>> def g1(x):
...     return 2.3*x[0] + 5.6*x[1] + 11.1*x[2] + 1.3*x[3] - 5  # >=0
...
>>> def g2(x):
...     return (12*x[0] + 11.9*x[1] +41.8*x[2] + 52.1*x[3] - 21
...             - 1.645 * np.sqrt(0.28*x[0]**2 + 0.19*x[1]**2
...                             + 20.5*x[2]**2 + 0.62*x[3]**2)
...             ) # >=0
...
>>> def h1(x):
...     return x[0] + x[1] + x[2] + x[3] - 1  # == 0
...
>>> cons = ({'type': 'ineq', 'fun': g1},
...         {'type': 'ineq', 'fun': g2},
...         {'type': 'eq', 'fun': h1})
>>> bounds = [(0, 1.0),]*4
>>> res = shgo(f, bounds, n=150, constraints=cons)
>>> res
 message: Optimization terminated successfully.
 success: True
     fun: 29.894378159142136
    funl: [ 2.989e+01]
       x: [ 6.355e-01  1.137e-13  3.127e-01  5.178e-02] # may vary
      xl: [[ 6.355e-01  1.137e-13  3.127e-01  5.178e-02]] # may vary
     nit: 1
    nfev: 142 # may vary
   nlfev: 35 # may vary
   nljev: 5
   nlhev: 0

>>> g1(res.x), g2(res.x), h1(res.x)
(-5.062616992290714e-14, -2.9594104944408173e-12, 0.0)