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scipy.optimize.

isotonic_regression#

scipy.optimize.isotonic_regression(y, *, weights=None, increasing=True)[源代码]#

非参数等张回归。

通过池相邻违反者算法（PAVA）计算与y 长度相同的（非严格）单调递增数组 x，请参见 [1]。有关更多详细信息，请参见“说明”部分。

参数:
y(N,) 类数组

响应变量。

weights(N,) 类数组 或 None

案例权重。

increasingbool

如果为 True，则拟合单调递增，即等张回归。如果为 False，则拟合单调递减，即反张回归。默认为 True。

返回:
resOptimizeResult

优化结果表示为 OptimizeResult 对象。重要的属性包括

  • x：等张回归解，即与 y 长度相同且元素范围从 min(y) 到 max(y) 的递增（或递减）数组。

  • weights：包含每个块（或池）B 的案例权重之和的数组。

  • blocks：长度为 B+1 的数组，包含每个块（或池）B 的起始位置的索引。第 j 个块由 x[blocks[j]:blocks[j+1]] 给出，其中所有值都相同。

说明

给定数据 \(y\) 和案例权重 \(w\)，等张回归解决以下优化问题

\[\operatorname{argmin}_{x_i} \sum_i w_i (y_i - x_i)^2 \quad \text{约束条件为 } x_i \leq x_j \text{ 当 } i \leq j 时 \,.\]

对于每个输入值 \(y_i\)，它生成一个值 \(x_i\)，使得 \(x\) 是递增的（但不是严格递增），即 \(x_i \leq x_{i+1}\)。这是通过 PAVA 完成的。解由池或块组成，即 \(x\) 的相邻元素，例如 \(x_i\) 和 \(x_{i+1}\)，它们都具有相同的值。

最有趣的是，如果平方损失被 Bregman 函数的广泛类别所取代，则解保持不变，Bregman 函数是均值的唯一严格一致评分函数类别，请参见 [2] 及其中的参考文献。

根据 [1] 实现的 PAVA 版本具有 O(N) 的计算复杂度，其中输入大小为 N。

参考文献

[1] (1,2)

Busing, F. M. T. A. (2022). Monotone Regression: A Simple and Fast O(n) PAVA Implementation. Journal of Statistical Software, Code Snippets, 102(1), 1-25. DOI:10.18637/jss.v102.c01

[2]

Jordan, A.I., Mühlemann, A. & Ziegel, J.F. Characterizing the optimal solutions to the isotonic regression problem for identifiable functionals. Ann Inst Stat Math 74, 489-514 (2022). DOI:10.1007/s10463-021-00808-0

示例

此示例演示了 isotonic_regression 真正解决了约束优化问题。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.optimize import isotonic_regression, minimize
>>> y = [1.5, 1.0, 4.0, 6.0, 5.7, 5.0, 7.8, 9.0, 7.5, 9.5, 9.0]
>>> def objective(yhat, y):
...     return np.sum((yhat - y)**2)
>>> def constraint(yhat, y):
...     # This is for a monotonically increasing regression.
...     return np.diff(yhat)
>>> result = minimize(objective, x0=y, args=(y,),
...                   constraints=[{'type': 'ineq',
...                                 'fun': lambda x: constraint(x, y)}])
>>> result.x
array([1.25      , 1.25      , 4.        , 5.56666667, 5.56666667,
       5.56666667, 7.8       , 8.25      , 8.25      , 9.25      ,
       9.25      ])
>>> result = isotonic_regression(y)
>>> result.x
array([1.25      , 1.25      , 4.        , 5.56666667, 5.56666667,
       5.56666667, 7.8       , 8.25      , 8.25      , 9.25      ,
       9.25      ])

与调用 minimize 相比，isotonic_regression 的巨大优势在于它更用户友好，即不需要定义目标函数和约束函数，并且速度快几个数量级。在普通硬件（2023 年）上，对于长度为 1000 的正态分布输入 y，最小化器大约需要 4 秒，而 isotonic_regression 大约需要 200 微秒。

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