scipy.special.ive#

scipy.special.ive(v, z, out=None) = <ufunc 'ive'>#

指数缩放的第一类修正贝塞尔函数。

定义为

ive(v, z) = iv(v, z) * exp(-abs(z.real))

对于没有实部的虚数，返回未缩放的第一类贝塞尔函数 iv。

参数:

v浮点数组类型: 阶数。
z浮点数或复数数组类型: 参数。
outndarray, 可选: 用于函数值的可选输出数组

返回:

标量或 ndarray: 指数缩放的修正贝塞尔函数值。

另请参阅

iv: 第一类修正贝塞尔函数
i0e: 该函数阶数为0时的更快实现
i1e: 该函数阶数为1时的更快实现

备注

对于正的 v，将调用 AMOS [1] zbesi 例程。它对小 z 使用幂级数，对大 abs(z) 使用渐近展开，对中等量级使用经 Wronskian 归一化的 Miller 算法和 Neumann 级数，以及对大阶数使用 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的均匀渐近展开。必要时，使用反向递推生成序列或降低阶数。

上述计算在右半平面完成，并通过以下公式延续到左半平面，

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

（当 z 的实部为正时有效）。对于负的 v，使用以下公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

，其中 \(K_v(z)\) 是第二类修正贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesk 计算。

ive 对于大参数 z 很有用：对于这些参数，iv 容易溢出，而 ive 由于指数缩放而不会。

参考文献

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”, http://netlib.org/amos/

示例

在以下示例中，iv 返回无穷大，而 ive 仍然返回一个有限数。

>>> from scipy.special import iv, ive
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> iv(3, 1000.), ive(3, 1000.)
(inf, 0.01256056218254712)

通过提供列表或 NumPy 数组作为 v 参数的实参，计算函数在一点处不同阶数的值

>>> ive([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.46575961, 0.20791042, 0.10798193])

通过提供 z 的数组，计算函数在几个点处阶数为0的值。

>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> ive(0, points)
array([0.30850832, 1.        , 0.24300035])

通过同时提供 v 和 z 的数组，计算函数在几个点处不同阶数的值。两个数组都必须能够广播到正确的形状。要计算一维点数组的0、1和2阶

>>> ive([[0], [1], [2]], points)
array([[ 0.30850832,  1.        ,  0.24300035],
       [-0.21526929,  0.        ,  0.19682671],
       [ 0.09323903,  0.        ,  0.11178255]])

绘制阶数为0到3的函数在-5到5范围内的曲线。

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, ive(i, x), label=fr'$I_{i!r}(z)\cdot e^{{-|z|}}$')
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel(r"$z$")
>>> plt.show()