scipy.special.ive#

scipy.special.ive(v, z, out=None) = <ufunc 'ive'>#

指数缩放的第一类修正贝塞尔函数。

定义为

ive(v, z) = iv(v, z) * exp(-abs(z.real))

对于没有实部的虚数，返回未缩放的第一类贝塞尔函数 iv。

参数:

v浮点数类型的类数组: 阶数。
z浮点数或复数类型的类数组: 自变量。
outndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或ndarray: 指数缩放的修正贝塞尔函数的值。

另请参阅

iv: 第一类修正贝塞尔函数
i0e: 阶数为 0 时此函数的更快实现
i1e: 阶数为 1 时此函数的更快实现

备注

对于正 v，调用 AMOS [1] zbesi 例程。它对小的 z 使用幂级数，对大的 abs(z) 使用渐近展开，对中间大小使用由朗斯基行列式归一化的米勒算法和诺伊曼级数，以及对大阶数使用 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的一致渐近展开。当需要时，使用向后递推来生成序列或减少阶数。

上面的计算在右半平面完成，并通过公式延续到左半平面，

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

(当 z 的实部为正时有效)。对于负 v，使用公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

其中 \(K_v(z)\) 是第二类修正贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesk 计算。

ive 对于大的自变量 z 非常有用：对于这些，iv 很容易溢出，而 ive 由于指数缩放而不会溢出。

参考文献

[1]

Donald E. Amos，“AMOS，一个用于复数自变量和非负阶数的贝塞尔函数的可移植包”，http://netlib.org/amos/

示例

在以下示例中，iv 返回无穷大，而 ive 仍然返回一个有限的数字。

>>> from scipy.special import iv, ive
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> iv(3, 1000.), ive(3, 1000.)
(inf, 0.01256056218254712)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组作为参数，计算不同阶数的函数在一点的值

>>> ive([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.46575961, 0.20791042, 0.10798193])

通过为 z 提供数组，计算阶数为 0 的函数在多个点的值。

>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> ive(0, points)
array([0.30850832, 1.        , 0.24300035])

通过为 v 和 z 提供数组，计算不同阶数的函数在多个点的值。这两个数组必须可广播到正确的形状。要计算 1D 点数组的 0、1 和 2 阶数

>>> ive([[0], [1], [2]], points)
array([[ 0.30850832,  1.        ,  0.24300035],
       [-0.21526929,  0.        ,  0.19682671],
       [ 0.09323903,  0.        ,  0.11178255]])

绘制从 -5 到 5 的 0 到 3 阶函数。

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, ive(i, x), label=fr'$I_{i!r}(z)\cdot e^{{-|z|}}$')
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel(r"$z$")
>>> plt.show()