scipy.special.ive#

scipy.special.ive(v, z, out=None) = <ufunc 'ive'>#

第一类修正贝塞尔函数的指数缩放。

定义为

ive(v, z) = iv(v, z) * exp(-abs(z.real))

对于没有实部的虚数，返回第一类未缩放的贝塞尔函数 iv。

参数:

vfloat 数组型: 阶。
zfloat 或 complex 数组型: 自变量。
outndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或 ndarray: 指数修正贝塞尔函数的值。

另请参阅

iv: 第一类修正贝塞尔函数
i0e: 0 阶时，本函数的实现速度更快
i1e: 1 阶时，本函数的实现速度更快

备注

对于正数v，将调用 AMOS [1] zbesi 例程。它利用幂级数适用于小z，渐近展开适用于大abs(z)，由弗龙斯基标准化的米勒算法及适用于中间大小的诺伊曼级数，以及适用于大阶数 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的渐近展开。在必要时，使用向后递归生成序列或减少阶数。

以上计算在右半平面完成，并通过公式延续到左半平面，

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

(当z 的实部为正时有效)。对于负数v，将使用公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

其中 \(K_v(z)\) 是使用 AMOS 例程 zbesk 计算的第二类修正贝塞尔函数。

ive 适用于大参数 z：对于这些参数，iv 容易溢出，而 ive 由于指数缩放而不会溢出。

参考

[1]

Donald E. Amos，“AMOS，用于复参数和非负阶的贝塞尔函数的可移植程序包”，http://netlib.org/amos/

示例

在以下示例中，iv 返回无穷大，而 ive 仍返回一个有限数。

>>> from scipy.special import iv, ive
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> iv(3, 1000.), ive(3, 1000.)
(inf, 0.01256056218254712)

通过提供一个列表或 NumPy 数组作为 v 参数，在不同顺序的一个点评估函数

>>> ive([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.46575961, 0.20791042, 0.10798193])

通过为 z 提供一个数组，在 0 阶的多个点评估函数。

>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> ive(0, points)
array([0.30850832, 1.        , 0.24300035])

通过同时为 v 和 z 提供数组，在不同阶的多个点评估函数。两个数组都必须可广播为正确的形状。若要为点的一维数组计算 0、1 和 2 阶

>>> ive([[0], [1], [2]], points)
array([[ 0.30850832,  1.        ,  0.24300035],
       [-0.21526929,  0.        ,  0.19682671],
       [ 0.09323903,  0.        ,  0.11178255]])

绘制 -5 到 5 的 0 到 3 阶函数。

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, ive(i, x), label=fr'$I_{i!r}(z)\cdot e^{{-|z|}}$')
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel(r"$z$")
>>> plt.show()