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scipy.special.

lambertw#

scipy.special.lambertw(z, k=0, tol=1e-8)[源代码]#

Lambert W 函数。

Lambert W 函数 W(z) 定义为 w * exp(w) 的反函数。换句话说，对于任何复数 z，W(z) 的值使得 z = W(z) * exp(W(z))。

Lambert W 函数是一个多值函数，有无限多个分支。每个分支都给出了方程 z = w exp(w) 的一个单独解。在这里，分支由整数 k 索引。

参数:
zarray_like

输入参数。

kint, 可选

分支索引。

tolfloat, 可选

求值容差。

返回:
warray

w 的形状将与 z 相同。

另请参阅

wrightomega

Wright Omega 函数

注释

lambertw 支持所有分支

  • lambertw(z) 给出主解（分支 0）

  • lambertw(z, k) 给出分支 k 上的解

Lambert W 函数有两个部分实数的分支：主分支（k = 0）对于实数 z > -1/e 为实数，而 k = -1 分支对于 -1/e < z < 0 为实数。除 k = 0 外的所有分支在 z = 0 处都有对数奇点。

可能的问题

在非常接近 -1/e 处的支点时，求值可能会变得不准确。在某些极端情况下，lambertw 目前可能无法收敛，或者可能会最终出现在错误的分支上。

算法

使用 Halley 迭代来反转 w * exp(w)，使用一阶渐近近似 (O(log(w)) 或 O(w)) 作为初始估计。

分支的定义、实现和选择基于 [2]。

参考文献

[2]

Corless 等人，“On the Lambert W function”，Adv. Comp. Math. 5 (1996) 329-359. https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf

示例

Lambert W 函数是 w exp(w) 的反函数

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import lambertw
>>> w = lambertw(1)
>>> w
(0.56714329040978384+0j)
>>> w * np.exp(w)
(1.0+0j)

任何分支都给出有效的反函数

>>> w = lambertw(1, k=3)
>>> w
(-2.8535817554090377+17.113535539412148j)
>>> w*np.exp(w)
(1.0000000000000002+1.609823385706477e-15j)

方程求解的应用

Lambert W 函数可用于求解各种类型的方程。我们在这里给出两个例子。

首先，该函数可用于求解以下形式的隐式方程

\(x = a + b e^{c x}\)

对于 \(x\)。我们假设 \(c\) 不为零。经过一些代数运算，该方程可以写成

\(z e^z = -b c e^{a c}\)

其中 \(z = c (a - x)\)。然后可以使用 Lambert W 函数表示 \(z\)

\(z = W(-b c e^{a c})\)

给出

\(x = a - W(-b c e^{a c})/c\)

例如，

>>> a = 3
>>> b = 2
>>> c = -0.5

\(x = a + b e^{c x}\) 的解为

>>> x = a - lambertw(-b*c*np.exp(a*c))/c
>>> x
(3.3707498368978794+0j)

验证它是否求解了该方程

>>> a + b*np.exp(c*x)
(3.37074983689788+0j)

Lambert W 函数也可用于查找无穷次幂塔 \(z^{z^{z^{\ldots}}}\) 的值

>>> def tower(z, n):
...     if n == 0:
...         return z
...     return z ** tower(z, n-1)
...
>>> tower(0.5, 100)
0.641185744504986
>>> -lambertw(-np.log(0.5)) / np.log(0.5)
(0.64118574450498589+0j)
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