scipy.special.yv#

scipy.special.yv(v, z, out=None) = <ufunc 'yv'>#

实数阶和复数自变量的第二类贝塞尔函数。

参数:

varray_like: 阶数 (浮点数)。
zarray_like: 自变量 (浮点数或复数)。
outndarray, optional: 可选的输出数组，用于存放函数结果。

返回:

Y标量或 ndarray: 第二类贝塞尔函数 \(Y_v(x)\) 的值。

另请参阅

yve: 去除前导指数行为的 \(Y_v\)。
y0: 此函数在阶数为 0 时更快实现。
y1: 此函数在阶数为 1 时更快实现。

注释

对于正的 v 值，计算使用 AMOS [1] zbesy 例程进行，该例程利用了与汉克尔贝塞尔函数 \(H_v^{(1)}\) 和 \(H_v^{(2)}\) 的关系：

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

对于负的 v 值，使用以下公式：

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(J_v(z)\) 是第一类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesj 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高精度，对于满足 v = floor(v) 的 v 值，明确省略了第二项。

参考文献

[1]

Donald E. Amos，“AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”，http://netlib.org/amos/

示例

计算阶数为 0 的函数在某个点的值。

>>> from scipy.special import yv
>>> yv(0, 1.)
0.088256964215677

计算函数在某个点上不同阶数的值。

>>> yv(0, 1.), yv(1, 1.), yv(1.5, 1.)
(0.088256964215677, -0.7812128213002889, -1.102495575160179)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中完成不同阶数的计算。

>>> yv([0, 1, 1.5], 1.)
array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.10249558])

通过为 z 提供数组，计算阶数为 0 的函数在多个点的值。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
>>> yv(0, points)
array([-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149])

如果 z 是一个数组，则阶数参数 v 必须能够广播到正确的形状，以便在一次调用中计算不同阶数。要计算一维数组的 0 阶和 1 阶：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> yv(orders, points)
array([[-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149],
       [-1.47147239,  0.32467442, -0.15806046]])

绘制阶数为 0 到 3 的函数在 0 到 10 范围内的曲线。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, yv(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
>>> ax.set_ylim(-3, 1)
>>> ax.legend()
>>> plt.show()