scipy.special.yv#

scipy.special.yv(v, z, out=None) = <ufunc 'yv'>#

复数参数的二阶实数阶贝塞尔函数。

参数:

varray_like: 阶（浮点数）。
zarray_like: 参数（浮点数或复数）。
outndarray，可选: 函数结果的可选输出数组

返回:

Y标量或 ndarray: 二阶贝塞尔函数的值，\(Y_v(x)\)。

另请参见

yve: 剥离了前导指数行为的\(Y_v\)。
y0: 此函数的 0 阶更快实现
y1: 此函数的 1 阶更快实现

注意

对于正v 值，计算使用 AMOS [1] zbesy 例程，它利用与第二类汉克尔贝塞尔函数\(H_v^{(1)}\)和\(H_v^{(2)}\)的联系。

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

对于负v 值，以下公式：

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

使用，其中 \(J_v(z)\) 是第一类 Bessel 函数，使用 AMOS 例程 zbesj 计算。请注意，对于整数 v，第二项正好为零；为了提高精度，对于 v 值，明确地忽略第二项，其中 v = floor(v)。

参考

[1]

Donald E. Amos，“AMOS，一个用于复杂参数和非负阶的贝塞尔函数的可移植软件包”，http://netlib.org/amos/

示例

在一点处评估 0 阶函数。

>>> from scipy.special import yv
>>> yv(0, 1.)
0.088256964215677

针对不同的阶，在一点处评估函数。

>>> yv(0, 1.), yv(1, 1.), yv(1.5, 1.)
(0.088256964215677, -0.7812128213002889, -1.102495575160179)

可以通过将列表或 NumPy 数组提供为 v 参数，一次调用中针对不同的阶执行评估

>>> yv([0, 1, 1.5], 1.)
array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.10249558])

通过为 z 提供一个数组，针对 0 阶在几个点处评估函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
>>> yv(0, points)
array([-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149])

如果 z 是一个数组，则阶参数 v 必须可广播至正确的形状，如果在一次调用中计算不同的阶。为了针对 1D 数组计算 0 阶和 1 阶：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> yv(orders, points)
array([[-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149],
       [-1.47147239,  0.32467442, -0.15806046]])

绘制从 0 到 10 的 0 到 3 阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, yv(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
>>> ax.set_ylim(-3, 1)
>>> ax.legend()
>>> plt.show()