scipy.special.yve#

scipy.special.yve(v, z, out=None) = <ufunc 'yve'>#

实数阶的指数缩放第二类贝塞尔函数。

返回复数 z 处实数阶 v 的指数缩放第二类贝塞尔函数值。

yve(v, z) = yv(v, z) * exp(-abs(z.imag))

参数:

varray_like: 阶数（浮点数）。
zarray_like: 自变量（浮点数或复数）。
outndarray, 可选: 函数结果的可选输出数组

返回:

Y标量或 ndarray: 指数缩放贝塞尔函数的值。

另请参阅

yv: 实数阶的未缩放第二类贝塞尔函数。

备注

对于正数 v 值，计算使用 AMOS [1] zbesy 例程执行，该例程利用与汉克尔贝塞尔函数 \(H_v^{(1)}\) 和 \(H_v^{(2)}\) 的联系，

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

对于负数 v 值，使用公式：

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(J_v(z)\) 是第一类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesj 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高精度，对于 v 值满足 v = floor(v) 的情况，会显式省略第二项。

指数缩放的贝塞尔函数对于较大的 z 值非常有用：对于这些情况，未缩放的贝塞尔函数很容易发生下溢或溢出。

参考文献

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, 用于复数自变量和非负阶贝塞尔函数的便携式包”, http://netlib.org/amos/

示例

比较 yv 和 yve 对于大的复数自变量 z 的输出，通过计算在 z=1000j 处阶数 v=1 的值。我们看到 yv 返回 nan，但 yve 返回一个有限数。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import yv, yve
>>> v = 1
>>> z = 1000j
>>> yv(v, z), yve(v, z)
((nan+nanj), (-0.012610930256928629+7.721967686709076e-19j))

对于实数自变量 z，yve 返回的值与 yv 相同，误差仅在浮点数精度范围内。

>>> v, z = 1, 1000
>>> yv(v, z), yve(v, z)
(-0.02478433129235178, -0.02478433129235179)

可以通过为 v 提供列表或 NumPy 数组来同时计算多个阶数的函数值。

>>> yve([1, 2, 3], 1j)
array([-0.20791042+0.14096627j,  0.38053618-0.04993878j,
       0.00815531-1.66311097j])

同样，可以通过为 z 提供列表或 NumPy 数组，在一次调用中计算多个点的函数值。

>>> yve(1, np.array([1j, 2j, 3j]))
array([-0.20791042+0.14096627j, -0.21526929+0.01205044j,
       -0.19682671+0.00127278j])

也可以通过为 v 和 z 提供广播兼容形状的数组来同时计算多个阶数在多个点的值。计算两个不同阶数 v 和三个点 z 的 yve 值，得到一个 2x3 的数组。

>>> v = np.array([[1], [2]])
>>> z = np.array([3j, 4j, 5j])
>>> v.shape, z.shape
((2, 1), (3,))

>>> yve(v, z)
array([[-1.96826713e-01+1.27277544e-03j, -1.78750840e-01+1.45558819e-04j,
        -1.63972267e-01+1.73494110e-05j],
       [1.94960056e-03-1.11782545e-01j,  2.02902325e-04-1.17626501e-01j,
        2.27727687e-05-1.17951906e-01j]])