scipy.special.yve#

scipy.special.yve(v, z, out=None) = <ufunc 'yve'>#

实数阶第二类指数标度贝塞尔函数。

返回实数阶 v 的第二类指数标度贝塞尔函数在复数 z 处的值。

yve(v, z) = yv(v, z) * exp(-abs(z.imag))

参数:

varray_like: 阶数 (浮点数)。
zarray_like: 参数 (浮点数或复数)。
outndarray, optional: 用于函数结果的可选输出数组。

返回:

Yscalar or ndarray: 指数标度贝塞尔函数的值。

另请参阅

yv: 未标度实数阶第二类贝塞尔函数。

备注

对于正 v 值，计算使用 AMOS [1] zbesy 例程进行，该例程利用了与 Hankel 贝塞尔函数 \(H_v^{(1)}\) 和 \(H_v^{(2)}\) 的联系，

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

对于负 v 值，使用以下公式：

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(J_v(z)\) 是第一类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesj 计算。请注意，对于整数 v，第二项精确为零；为提高精度，对于满足 v = floor(v) 的 v 值，明确省略第二项。

指数标度贝塞尔函数对于较大的 z 值非常有用：对于这些值，未标度贝塞尔函数很容易出现下溢或上溢。

参考文献

[1]

Donald E. Amos，“AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”，http://netlib.org/amos/

示例

通过计算 yv 和 yve 在阶数 v=1 和 z=1000j 处的值，比较它们对于大复数参数 z 的输出。我们看到 yv 返回 nan，但 yve 返回有限数值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import yv, yve
>>> v = 1
>>> z = 1000j
>>> yv(v, z), yve(v, z)
((nan+nanj), (-0.012610930256928629+7.721967686709076e-19j))

对于实数参数 z，yve 返回与 yv 相同的结果，仅存在浮点误差。

>>> v, z = 1, 1000
>>> yv(v, z), yve(v, z)
(-0.02478433129235178, -0.02478433129235179)

通过为 v 提供列表或 NumPy 数组，可以同时计算多个阶的函数值。

>>> yve([1, 2, 3], 1j)
array([-0.20791042+0.14096627j,  0.38053618-0.04993878j,
       0.00815531-1.66311097j])

同样，通过为 z 提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中计算多个点的函数值。

>>> yve(1, np.array([1j, 2j, 3j]))
array([-0.20791042+0.14096627j, -0.21526929+0.01205044j,
       -0.19682671+0.00127278j])

还可以通过为 v 和 z 提供具有广播兼容形状的数组，同时计算多个阶和多个点的函数值。计算两个不同阶 v 和三个点 z 的 yve，结果是一个 2x3 数组。

>>> v = np.array([[1], [2]])
>>> z = np.array([3j, 4j, 5j])
>>> v.shape, z.shape
((2, 1), (3,))

>>> yve(v, z)
array([[-1.96826713e-01+1.27277544e-03j, -1.78750840e-01+1.45558819e-04j,
        -1.63972267e-01+1.73494110e-05j],
       [1.94960056e-03-1.11782545e-01j,  2.02902325e-04-1.17626501e-01j,
        2.27727687e-05-1.17951906e-01j]])