scipy.special.betainc#

scipy.special.betainc(a, b, x, out=None) = <ufunc 'betainc'>#

正则化不完全贝塔函数。

计算正则化不完全贝塔函数，定义为 [1]

\[I_x(a, b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,\]

其中 \(0 \leq x \leq 1\)。

此函数是贝塔分布的累积分布函数；其值域为 [0, 1]。

参数:

a, barray_like: 正的实值参数
xarray_like: 实值，使得 \(0 \leq x \leq 1\)，积分上限
outndarray, optional: 可选的输出数组，用于存储函数值

返回:

标量或 ndarray: 正则化不完全贝塔函数的值

另请参见

beta: 贝塔函数
betaincinv: 正则化不完全贝塔函数的逆函数
betaincc: 正则化不完全贝塔函数的补函数
scipy.stats.beta: 贝塔分布

注释

此函数名称中的“正则化”一词指的是函数通过公式中所示的伽马函数项进行缩放。当未限定为“正则化”时，“不完全贝塔函数”通常仅指积分表达式，不包含伽马项。可以使用 scipy.special 中的 beta 函数，通过将 betainc(a, b, x) 的结果乘以 beta(a, b) 来获得此“非正则化”不完全贝塔函数。

betainc(a, b, x) 被视为单变量 x 的两参数函数族，而不是三变量函数。这仅影响极限情况 a = 0、b = 0、a = inf、b = inf。

通常

\[\lim_{(a, b) \rightarrow (a_0, b_0)} \mathrm{betainc}(a, b, x)\]

被视为 x 的逐点极限。因此，例如，对于 b > 0，betainc(0, b, 0) 等于 0，尽管在考虑同时极限 (a, x) -> (0+, 0+) 时它将是不确定的。

此函数封装了 Boost Math C++ 库 [2] 中的 ibeta 例程。

betainc 除了 NumPy 之外，还实验性支持兼容 Python 数组 API 标准的后端。请考虑通过设置环境变量 SCIPY_ARRAY_API=1 并提供 CuPy、PyTorch、JAX 或 Dask 数组作为数组参数来测试这些功能。支持以下后端和设备（或其他功能）组合。

库	CPU	GPU
NumPy	✅	不适用
CuPy	不适用	✅
PyTorch	✅	⛔
JAX	✅	✅
Dask	✅	不适用

有关更多信息，请参阅对数组 API 标准的支持。

参考文献

[1]

NIST 数学函数数字库 https://dlmf.nist.gov/8.17

[2]

The Boost Developers。“Boost C++ Libraries”。https://boost.ac.cn/。

示例

令 \(B(a, b)\) 为 beta 函数。

>>> import scipy.special as sc

用 gamma 表示的系数等于 \(1/B(a, b)\)。此外，当 \(x=1\) 时，积分等于 \(B(a, b)\)。因此，对于任何 \(a, b\)，\(I_{x=1}(a, b) = 1\)。

>>> sc.betainc(0.2, 3.5, 1.0)
1.0

它满足 \(I_x(a, b) = x^a F(a, 1-b, a+1, x)/ (aB(a, b))\)，其中 \(F\) 是超几何函数 hyp2f1

>>> a, b, x = 1.4, 3.1, 0.5
>>> x**a * sc.hyp2f1(a, 1 - b, a + 1, x)/(a * sc.beta(a, b))
0.8148904036225295
>>> sc.betainc(a, b, x)
0.8148904036225296

此函数满足关系 \(I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a)\)

>>> sc.betainc(2.2, 3.1, 0.4)
0.49339638807619446
>>> 1 - sc.betainc(3.1, 2.2, 1 - 0.4)
0.49339638807619446