scipy.special.betainc#

scipy.special.betainc(a, b, x, out=None) = <ufunc 'betainc'>#

正则化不完全 beta 函数。

计算正则化不完全 beta 函数，定义如下 [1]

\[I_x(a, b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,\]

对于 \(0 \leq x \leq 1\)。

此函数是 beta 分布的累积分布函数；其范围为 [0, 1]。

参数:

a, barray_like: 正的实值参数
xarray_like: 实值，使得 \(0 \leq x \leq 1\)，积分的上限
outndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或 ndarray: 正则化不完全 beta 函数的值

参见

beta: beta 函数
betaincinv: 正则化不完全 beta 函数的逆
betaincc: 正则化不完全 beta 函数的补
scipy.stats.beta: beta 分布

注释

该函数名称中的“正则化”指使用公式中显示的伽马函数项来对函数进行缩放。当不将其定义为“正则化”时，“不完全贝塔函数”通常仅指积分表达式，而不包括伽马项。您可以使用 `scipy.special` 中的函数 beta 通过将 `betainc(a, b, x)` 的结果乘以 `beta(a, b)` 找到这个“未正则化”的不完全贝塔函数。

参考

[1]

NIST 数字数学函数库 https://dlmf.nist.gov/8.17

示例

设 \(B(a, b)\) 是 beta 函数。

>>> import scipy.special as sc

根据 gamma 的系数等于 \(1/B(a, b)\)。此外，当 \(x=1\) 时，积分等于 \(B(a, b)\)。因此，对于任何 \(a, b\)，\(I_{x=1}(a, b) = 1\)。

>>> sc.betainc(0.2, 3.5, 1.0)
1.0

它满足 \(I_x(a, b) = x^a F(a, 1-b, a+1, x)/ (aB(a, b))\)，其中 \(F\) 是超几何函数 hyp2f1

>>> a, b, x = 1.4, 3.1, 0.5
>>> x**a * sc.hyp2f1(a, 1 - b, a + 1, x)/(a * sc.beta(a, b))
0.8148904036225295
>>> sc.betainc(a, b, x)
0.8148904036225296

此函数满足关系 \(I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a)\)

>>> sc.betainc(2.2, 3.1, 0.4)
0.49339638807619446
>>> 1 - sc.betainc(3.1, 2.2, 1 - 0.4)
0.49339638807619446