scipy.special.
genlaguerre#
- scipy.special.genlaguerre(n, alpha, monic=False)[source]#
广义（缔合）拉盖尔多项式。
定义为以下方程的解
\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]其中 \(\alpha > -1\); \(L_n^{(\alpha)}\) 是 \(n\) 次多项式。
- 参数:
- nint
多项式的阶数。
- alphafloat
参数，必须大于 -1。
- monicbool, optional
如果 True，则缩放前导系数为 1。默认为 False。
- 返回:
- Lorthopoly1d
广义拉盖尔多项式。
注释
对于固定的 \(\alpha\)，多项式 \(L_n^{(\alpha)}\) 在 \([0, \infty)\) 上是正交的，权重函数为 \(e^{-x}x^\alpha\)。
拉盖尔多项式是 \(\alpha = 0\) 时的特殊情况。
参考文献
[AS]Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编辑。数学函数手册，包含公式、图形和数学表。纽约：Dover，1972 年。
示例
广义拉盖尔多项式与合流超几何函数 \({}_1F_1\) 密切相关
\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]例如，对于 \(n = \alpha = 3\) 在区间 \([-1, 1]\) 上，可以验证这一点
>>> import numpy as np >>> from scipy.special import binom >>> from scipy.special import genlaguerre >>> from scipy.special import hyp1f1 >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x)) True
这是广义拉盖尔多项式 \(L_3^{(\alpha)}\) 对于某些 \(\alpha\) 值的图
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0) >>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$') >>> for alpha in np.arange(0, 5): ... ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
