scipy.special.

genlaguerre

scipy.special.genlaguerre(n, alpha, monic=False)

广义（伴随）拉盖尔多项式。

定义为

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]

其中 \(\alpha > -1\)；\(L_n^{(\alpha)}\) 是度数为 \(n\) 的多项式。

参数:

nint

多项式的次数。

alphafloat

参数，必须大于 -1。

monicbool 可选

如果 True，则将首要系数按比例调整为 1。默认为 False。

返回:

Lorthopoly1d

广义拉盖尔多项式。

另请参见

laguerre

拉盖尔多项式。

hyp1f1

合流超几何函数

注释

对于固定的 \(\alpha\)，多项式 \(L_n^{(\alpha)}\) 在 \([0, \infty)\) 上正交，权重函数为 \(e^{-x}x^\alpha\)。

拉盖尔多项式是其中 \(\alpha = 0\) 的特例。

参考

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun，编。具有公式、图形和数学表的数学函数手册。纽约：Dover，1972 年。

示例

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广义拉盖尔多项式与流形超几何函数 \({}_1F_1\) 紧密相关

\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]

例如，可以针对 \(n = \alpha = 3\) 验证这一点，其在区间 \([-1, 1]\) 上

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import hyp1f1
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x))
True

这是广义拉盖尔多项式 \(L_3^{(\alpha)}\) 的绘图，其中 \(\alpha\) 取一些值

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0)
>>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

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