scipy.special.

y1p_zeros

scipy.special.y1p_zeros(nt, complex=False)

计算 Bessel 导数 Y1’(z) 的 nt 个零点及其在各零点的值。

这些值由在 Y1’(z1)=0 的每个 z1 处对应的 Y1(z1) 给出。

参数:

ntint

要返回的零点的数量

complexbool，默认值 False

设为 False 表示仅返回实部零点；设为 True 表示仅返回虚部为正而实部为负的复数零点。注意，后者的复共轭也是该函数的零点，但此例程不返回这些复共轭。

返回:

z1pnndarray

Y1’(z) 的第 n 个零点的位置

y1z1pnndarray

第 n 个零点的导数 Y1(z1) 的值

参考文献

[1]

张善杰和金建明著，“特殊函数计算”，John Wiley and Sons，1996 年，第 5 章。 https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/f77_src/special_functions/special_functions.html

示例

在浏览器中试一试！

计算 \(Y_1'\) 的前四个根以及 \(Y_1\) 在这些根处的取值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import y1p_zeros
>>> y1grad_roots, y1_values = y1p_zeros(4)
>>> with np.printoptions(precision=5):
...     print(f"Y1' Roots: {y1grad_roots.real}")
...     print(f"Y1 values: {y1_values.real}")
Y1' Roots: [ 3.68302  6.9415  10.1234  13.28576]
Y1 values: [ 0.41673 -0.30317  0.25091 -0.21897]

y1p_zeros 可直接用于计算\(Y_1\)的极值点。此处我们绘制\(Y_1\)和前四个极值。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.special import y1, yvp
>>> y1_roots, y1_values_at_roots = y1p_zeros(4)
>>> real_roots = y1_roots.real
>>> xmax = 15
>>> x = np.linspace(0, xmax, 500)
>>> x[0] += 1e-15
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(x, y1(x), label=r'$Y_1$')
>>> ax.plot(x, yvp(1, x, 1), label=r"$Y_1'$")
>>> ax.scatter(real_roots, np.zeros((4, )), s=30, c='r',
...            label=r"Roots of $Y_1'$", zorder=5)
>>> ax.scatter(real_roots, y1_values_at_roots.real, s=30, c='k',
...            label=r"Extrema of $Y_1$", zorder=5)
>>> ax.hlines(0, 0, xmax, color='k')
>>> ax.set_ylim(-0.5, 0.5)
>>> ax.set_xlim(0, xmax)
>>> ax.legend(ncol=2, bbox_to_anchor=(1., 0.75))
>>> plt.tight_layout()
>>> plt.show()

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