scipy.special.

ellip_harm#

scipy.special.ellip_harm(h2, k2, n, p, s, signm=1, signn=1)[源代码]#

椭球谐波函数 E^p_n(l)

这些也称为第一类拉梅函数，是拉梅方程的解

\[(s^2 - h^2)(s^2 - k^2)E''(s) + s(2s^2 - h^2 - k^2)E'(s) + (a - q s^2)E(s) = 0\]

其中 \(q = (n+1)n\) 并且 \(a\) 是对应于解的特征值（不返回）。

参数:

h2float: h**2
k2float: k**2；应该大于 h**2
nint: 次数
sfloat: 坐标
pint: 阶数，取值范围为 [1,2n+1]
signm{1, -1}, 可选: 函数前因子的符号。可以是 +/-1。请参阅注释。
signn{1, -1}, 可选: 函数前因子的符号。可以是 +/-1。请参阅注释。

返回:

Efloat: 谐波 \(E^p_n(s)\)

另请参阅

ellip_harm_2, ellip_normal

注释

椭球函数的几何解释在 [2], [3], [4] 中进行了解释。 signm 和 signn 参数根据函数的类型控制前因子的符号

K : +1
L : signm
M : signn
N : signm*signn

0.15.0 版本新增。

参考文献

[1]

数学函数数字图书馆 29.12 https://dlmf.nist.gov/29.12

[2]

Bardhan and Knepley, “Computational science and re-discovery: open-source implementations of ellipsoidal harmonics for problems in potential theory”, Comput. Sci. Disc. 5, 014006 (2012) DOI:10.1088/1749-4699/5/1/014006。

[3]

David J.and Dechambre P, “Computation of Ellipsoidal Gravity Field Harmonics for small solar system bodies” pp. 30-36, 2000

[4]

George Dassios, “Ellipsoidal Harmonics: Theory and Applications” pp. 418, 2012

示例

>>> from scipy.special import ellip_harm
>>> w = ellip_harm(5,8,1,1,2.5)
>>> w
2.5

检查这些函数是否确实是拉梅方程的解

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import UnivariateSpline
>>> def eigenvalue(f, df, ddf):
...     r = (((s**2 - h**2) * (s**2 - k**2) * ddf
...           + s * (2*s**2 - h**2 - k**2) * df
...           - n * (n + 1)*s**2*f) / f)
...     return -r.mean(), r.std()
>>> s = np.linspace(0.1, 10, 200)
>>> k, h, n, p = 8.0, 2.2, 3, 2
>>> E = ellip_harm(h**2, k**2, n, p, s)
>>> E_spl = UnivariateSpline(s, E)
>>> a, a_err = eigenvalue(E_spl(s), E_spl(s,1), E_spl(s,2))
>>> a, a_err
(583.44366156701483, 6.4580890640310646e-11)