scipy.special.
jacobi#
- scipy.special.jacobi(n, alpha, beta, monic=False)[源代码]#
雅可比多项式。
定义为
\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha, \beta)} + (\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x) \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha, \beta)} + n(n + \alpha + \beta + 1)P_n^{(\alpha, \beta)} = 0\]对于 \(\alpha, \beta > -1\)；\(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 是 \(n\) 次多项式。
- 参数:
- nint
多项式的次数。
- alphafloat
参数，必须大于 -1。
- betafloat
参数，必须大于 -1。
- monicbool，可选
如果 True，则将最高系数调整为 1。默认值为 False。
- 返回:
- Porthopoly1d
雅可比多项式。
备注
对于固定的 \(\alpha, \beta\)，多项式 \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 将在 \([-1, 1]\) 上正交，权重函数 \((1 - x)^\alpha(1 + x)^\beta\)。
参考文献
[AS]弥尔顿·阿布拉莫维茨和艾琳·A·斯蒂根编著的带有公式、图形和数学表的《数学函数手册》。纽约：多佛，1972 年。
示例
雅可比多项式满足递归关系
\[P_n^{(\alpha, \beta-1)}(x) - P_n^{(\alpha-1, \beta)}(x) = P_{n-1}^{(\alpha, \beta)}(x)\]例如，当 \(\alpha = \beta = 2\) 且 \(n = 1\) 时，在区间 \([-1, 1]\) 上可以验证这一点
>>> import numpy as np >>> from scipy.special import jacobi >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> np.allclose(jacobi(0, 2, 2)(x), ... jacobi(1, 2, 1)(x) - jacobi(1, 1, 2)(x)) True
雅可比多项式 \(P_5^{(\alpha, -0.5)}\) 的不同 \(\alpha\) 值的绘图
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0) >>> ax.set_title(r'Jacobi polynomials $P_5^{(\alpha, -0.5)}$') >>> for alpha in np.arange(0, 4, 1): ... ax.plot(x, jacobi(5, alpha, -0.5)(x), label=rf'$\alpha={alpha}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
