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scipy.special.

spherical_kn#

scipy.special.spherical_kn(n, z, derivative=False)[源代码]#

第二类修正球贝塞尔函数或其导数。

定义为 [1],

\[k_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} K_{n + 1/2}(z),\]

其中 \(K_n\) 是第二类修正贝塞尔函数。

参数:
nint，array_like

贝塞尔函数的阶数 (n >= 0)。

z复数或浮点数，array_like

贝塞尔函数的参数。

derivativebool, 可选

如果为 True，则返回导数的值（而不是函数本身）。

返回:
knndarray

注释

该函数使用其与第二类修正圆柱贝塞尔函数的定义关系进行计算。

导数使用关系式 [2] 计算,

\[ \begin{align}\begin{aligned}k_n' = -k_{n-1} - \frac{n + 1}{z} k_n.\\k_0' = -k_1\end{aligned}\end{align} \]

在 0.18.0 版本中添加。

参考文献

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编辑。《数学函数手册，包含公式、图形和数学表格》。纽约：多佛出版社，1972 年。

示例

第二类修正球贝塞尔函数 \(k_n\) 接受实数和复数作为第二个参数。它们可以返回复数类型

>>> from scipy.special import spherical_kn
>>> spherical_kn(0, 3+5j)
(0.012985785614001561+0.003354691603137546j)
>>> type(spherical_kn(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我们可以验证注释中 \(n=3\) 在区间 \([1, 2]\) 内导数的关系

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_kn(3, x, True),
...             - 4/x * spherical_kn(3, x) - spherical_kn(2, x))
True

前几个具有实数参数的 \(k_n\)

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 4.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(0.0, 5.0)
>>> ax.set_title(r'Modified spherical Bessel functions $k_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_kn(n, x), label=rf'$k_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()
../../_images/scipy-special-spherical_kn-1.png
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