scipy.special.elliprf#

scipy.special.elliprf(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprf'>#

完全对称的椭圆积分第一类。

函数 RF 定义为 [1]

\[R_{\mathrm{F}}(x, y, z) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} dt\]

参数:

x, y, zarray_like: 实数或复数输入参数。(scipy.special.elliprf)，(scipy.special.elliprf) 或 (scipy.special.elliprf) 可以是复平面上沿负实轴切开的任意数字，但其中最多只能有一个为零。
outndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

R标量或 ndarray: 积分的值。如果所有 (scipy.special.elliprf)，(scipy.special.elliprf) 和 (scipy.special.elliprf) 均为实数，则返回值为实数。否则，返回值将为复数。

请参阅

注释

该代码基于重复定理和 7 阶序列展开（参阅：https://dlmf.nist.gov/19.36.i）实现了 Carlson 算法，并对完整积分使用了 AGM 算法。 [2]

版本 1.8.0 中新增。

参考资料

[1]

B. C. Carlson 编辑，NIST，美国商务部“数学函数数字图书馆”中的第 19 章。 https://dlmf.nist.gov/19.16.E1

[2]

B. C. Carlson，“实椭圆积分或复椭圆积分的数值计算”，Numer. Algorithm，第 10 卷，第 1 期，第 13-26 页，1995 年。 https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

示例

基本齐次性

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprf

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprf(scale*x, scale*y, scale*z)
(0.5328051227278146-0.4008623567957094j)

>>> elliprf(x, y, z)/np.sqrt(scale)
(0.5328051227278147-0.4008623567957095j)

三个参数重合

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprf(x, x, x)
(0.42991731206146316-0.30417298187455954j)

>>> 1/np.sqrt(x)
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)

所谓的“第一个 lemniscate 常量”

>>> elliprf(0, 1, 2)
1.3110287771460598

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.25)**2/(4*np.sqrt(2*np.pi))
1.3110287771460598