scipy.special.elliprc#
- scipy.special.elliprc(x, y, out=None) = <ufunc 'elliprc'>#
退化的对称椭圆积分。
函数 RC 定义为 [1]
\[R_{\mathrm{C}}(x, y) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} (t + x)^{-1/2} (t + y)^{-1} dt = R_{\mathrm{F}}(x, y, y)\]- 参数:
- x, yarray_like
实数或复数输入参数。 x 可以是复平面上沿负实轴切割的任何数。 y 必须是非零的。
- outndarray，可选
函数值的可选输出数组
- 返回:
- R标量或 ndarray
积分值。如果 y 是实数且为负数，则返回柯西主值。如果 x 和 y 都是实数，则返回值是实数。否则，返回值是复数。
注释
RC 是对称积分 RF 的退化情况：
elliprc(x, y) == elliprf(x, y, y)。它是一个基本函数，而不是椭圆积分。该代码实现了基于重复定理和 7 阶级数展开的 Carlson 算法。 [2]
在 1.8.0 版本中添加。
参考文献
[1]B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E6
[2]B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293
示例
基本齐次性
>>> import numpy as np >>> from scipy.special import elliprc
>>> x = 1.2 + 3.4j >>> y = 5. >>> scale = 0.3 + 0.4j >>> elliprc(scale*x, scale*y) (0.5484493976710874-0.4169557678995833j)
>>> elliprc(x, y)/np.sqrt(scale) (0.5484493976710874-0.41695576789958333j)
当两个参数重合时，积分特别简单
>>> x = 1.2 + 3.4j >>> elliprc(x, x) (0.4299173120614631-0.3041729818745595j)
>>> 1/np.sqrt(x) (0.4299173120614631-0.30417298187455954j)
另一个简单情况：第一个参数消失
>>> y = 1.2 + 3.4j >>> elliprc(0, y) (0.6753125346116815-0.47779380263880866j)
>>> np.pi/2/np.sqrt(y) (0.6753125346116815-0.4777938026388088j)
当 x 和 y 均为正时，我们可以用更基本的函数来表示 \(R_C(x,y)\)。 对于 \(0 \le x < y\) 的情况，
>>> x = 3.2 >>> y = 6. >>> elliprc(x, y) 0.44942991498453444
>>> np.arctan(np.sqrt((y-x)/x))/np.sqrt(y-x) 0.44942991498453433
对于 \(0 \le y < x\) 的情况，
>>> x = 6. >>> y = 3.2 >>> elliprc(x,y) 0.4989837501576147
>>> np.log((np.sqrt(x)+np.sqrt(x-y))/np.sqrt(y))/np.sqrt(x-y) 0.49898375015761476