scipy.special.elliprc#

scipy.special.elliprc(x, y, out=None) = <ufunc 'elliprc'>#

退化的对称椭圆积分。

函数 RC 定义为 [1]

\[R_{\mathrm{C}}(x, y) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} (t + x)^{-1/2} (t + y)^{-1} dt = R_{\mathrm{F}}(x, y, y)\]
参数:
x, yarray_like

实数或复数输入参数。x 可以是复平面沿负实轴切割后的任意数。y 必须非零。

outndarray，可选

函数值的可选输出数组

返回:
R标量或 ndarray

积分值。如果 y 为实数且为负，则返回柯西主值。如果 x 和 y 都是实数，则返回值为实数。否则，返回值为复数。

另请参阅

elliprf

第一类完全对称椭圆积分。

elliprd

第二类对称椭圆积分。

elliprg

第二类完全对称椭圆积分。

elliprj

第三类对称椭圆积分。

备注

RC 是对称积分 RF 的退化情况：elliprc(x, y) == elliprf(x, y, y)。它是一个基本函数，而不是椭圆积分。

该代码实现了基于倍增定理和最高达 7 阶级数展开的 Carlson 算法。[2]

在版本 1.8.0 中添加。

参考文献

[1]

B. C. Carlson，编，《数学函数数字图书馆》第 19 章，NIST，美国商务部。https://dlmf.nist.gov/19.16.E6

[2]

B. C. Carlson，“实数或复数椭圆积分的数值计算”，Numer. Algorithm，第 10 卷，第 1 期，第 13-26 页，1995。https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

示例

基本齐次性

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprc

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprc(scale*x, scale*y)
(0.5484493976710874-0.4169557678995833j)

>>> elliprc(x, y)/np.sqrt(scale)
(0.5484493976710874-0.41695576789958333j)

当两个参数重合时，积分特别简单

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprc(x, x)
(0.4299173120614631-0.3041729818745595j)

>>> 1/np.sqrt(x)
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)

另一个简单情况：第一个参数为零

>>> y = 1.2 + 3.4j
>>> elliprc(0, y)
(0.6753125346116815-0.47779380263880866j)

>>> np.pi/2/np.sqrt(y)
(0.6753125346116815-0.4777938026388088j)

当 x 和 y 都为正时，我们可以用更基本的函数来表达 \(R_C(x,y)\)。对于 \(0 \le x < y\) 的情况，

>>> x = 3.2
>>> y = 6.
>>> elliprc(x, y)
0.44942991498453444

>>> np.arctan(np.sqrt((y-x)/x))/np.sqrt(y-x)
0.44942991498453433

对于 \(0 \le y < x\) 的情况，

>>> x = 6.
>>> y = 3.2
>>> elliprc(x,y)
0.4989837501576147

>>> np.log((np.sqrt(x)+np.sqrt(x-y))/np.sqrt(y))/np.sqrt(x-y)
0.49898375015761476
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