scipy.special.elliprd#

scipy.special.elliprd(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprd'>#

第二类对称椭圆积分。

函数 RD 定义为 [1]

\[R_{\mathrm{D}}(x, y, z) = \frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y)]^{-1/2} (t + z)^{-3/2} dt\]

参数:

x, y, zarray_like: 实数或复数输入参数。 x 或 y 可以是复平面上的任何数字，沿负实轴切割，但其中最多只能有一个为零，而 z 必须非零。
outndarray, optional: 可选的输出数组，用于存储函数值

返回:

另请参阅

附注

RD 是椭圆积分 RJ 的一个退化情况： elliprd(x, y, z) == elliprj(x, y, z, z)。

该代码实现了基于重复定理和最高 7 阶级数展开的卡尔森算法。 [2]

在版本 1.8.0 中新增。

参考文献

[1]

B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E5

[2]

B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

示例

基本齐次性质

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprd

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprd(scale*x, scale*y, scale*z)
(-0.03703043835680379-0.24500934665683802j)

>>> elliprd(x, y, z)*np.power(scale, -1.5)
(-0.0370304383568038-0.24500934665683805j)

所有三个参数相同

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprd(x, x, x)
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)

>>> np.power(x, -1.5)
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j)

所谓的“第二勒马尼斯科常数”

>>> elliprd(0, 2, 1)/3
0.5990701173677961

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.75)**2/np.sqrt(2*np.pi)
0.5990701173677959