scipy.special.elliprg#

scipy.special.elliprg(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprg'>#

完全对称第二类椭圆积分。

函数 RG 的定义如 [1] 所示

\[R_{\mathrm{G}}(x, y, z) = \frac{1}{4} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} \left(\frac{x}{t + x} + \frac{y}{t + y} + \frac{z}{t + z}\right) t dt\]

参数:

x, y, z类数组: 实数或复数输入参数。x、y 或 z 可以是沿负实轴切割的复平面中的任意数字。
outndarray, 可选: 用于存储函数值的可选输出数组

返回:

R标量或 ndarray: 积分的值。如果 x、y 和 z 都是实数，则返回值为实数。否则，返回值为复数。

另请参阅

elliprc: 退化对称积分。
elliprd: 第二类对称椭圆积分。
elliprf: 完全对称第一类椭圆积分。
elliprj: 第三类对称椭圆积分。

注意

该实现使用了关系式 [1]

\[2 R_{\mathrm{G}}(x, y, z) = z R_{\mathrm{F}}(x, y, z) - \frac{1}{3} (x - z) (y - z) R_{\mathrm{D}}(x, y, z) + \sqrt{\frac{x y}{z}}\]

以及 x、y、z 的对称性，当至少一个非零参数可作为枢轴时。当其中一个参数接近零时，则应用 AGM 方法。其他特殊情况根据参考文献 [2] 计算。

在版本 1.8.0 中添加。

参考文献

[1] (1,2)

B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

[2]

B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E1 https://dlmf.nist.gov/19.20.ii

示例

基本齐次性

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprg

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprg(scale*x, scale*y, scale*z)
(1.195936862005246+0.8470988320464167j)

>>> elliprg(x, y, z)*np.sqrt(scale)
(1.195936862005246+0.8470988320464165j)

简化

>>> elliprg(0, y, y)
1.756203682760182

>>> 0.25*np.pi*np.sqrt(y)
1.7562036827601817

>>> elliprg(0, 0, z)
1.224744871391589

>>> 0.5*np.sqrt(z)
1.224744871391589

具有半轴 a、b 和 c 的三轴椭球体的表面积由下式给出

\[S = 4 \pi a b c R_{\mathrm{G}}(1 / a^2, 1 / b^2, 1 / c^2).\]

>>> def ellipsoid_area(a, b, c):
...     r = 4.0 * np.pi * a * b * c
...     return r * elliprg(1.0 / (a * a), 1.0 / (b * b), 1.0 / (c * c))
>>> print(ellipsoid_area(1, 3, 5))
108.62688289491807