scipy.special.
spherical_yn#
- scipy.special.spherical_yn(n, z, derivative=False)[source]#
第二类球贝塞尔函数或其导数。
定义为[1]，
\[y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n + 1/2}(z),\]其中 \(Y_n\) 是第二类贝塞尔函数。
- 参数:
- nint, array_like
贝塞尔函数的阶数 (n >= 0)。
- zcomplex or float, array_like
贝塞尔函数的自变量。
- derivativebool, optional
如果为 True，则返回导数的值（而非函数本身）。
- 返回:
- ynndarray
备注
对于实数自变量，该函数使用递推关系计算[2]。对于复数自变量，则使用与第二类圆柱贝塞尔函数的定义关系。
导数使用以下关系计算[3]，
\[ \begin{align}\begin{aligned}y_n' = y_{n-1} - \frac{n + 1}{z} y_n.\\y_0' = -y_1\end{aligned}\end{align} \]0.18.0 版新增。
参考文献
[AS]Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun，编辑。《数学函数手册，含公式、图表和数学表格》。纽约：Dover，1972 年。
示例
第二类球贝塞尔函数 \(y_n\) 接受实数和复数作为第二个自变量。它们可以返回复数类型
>>> from scipy.special import spherical_yn >>> spherical_yn(0, 3+5j) (8.022343088587197-9.880052589376795j) >>> type(spherical_yn(0, 3+5j)) <class 'numpy.complex128'>
我们可以验证注释中关于 \(n=3\) 在区间 \([1, 2]\) 内的导数关系
>>> import numpy as np >>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01) >>> np.allclose(spherical_yn(3, x, True), ... spherical_yn(2, x) - 4/x * spherical_yn(3, x)) True
前几个带有实数自变量的 \(y_n\)
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 1.0) >>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $y_n$') >>> for n in np.arange(0, 4): ... ax.plot(x, spherical_yn(n, x), label=rf'$y_{n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
