scipy.special.
spherical_jn#
- scipy.special.spherical_jn(n, z, derivative=False)[源代码]#
第一类球贝塞尔函数或其导数。
定义为 [1],
\[j_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{n + 1/2}(z),\]其中 \(J_n\) 是第一类贝塞尔函数。
- 参数:
- nint, array_like
贝塞尔函数的阶数 (n >= 0)。
- z复数或浮点数, array_like
贝塞尔函数的参数。
- derivativebool, 可选
如果为 True，则返回导数的值（而不是函数本身）。
- 返回:
- jnndarray
备注
对于大于阶数的实数参数，该函数使用递增递归 [2] 计算。对于小的实数或复数参数，使用与第一类柱贝塞尔函数的定义关系。
导数使用关系式 [3] 计算，
\[ \begin{align}\begin{aligned}j_n'(z) = j_{n-1}(z) - \frac{n + 1}{z} j_n(z).\\j_0'(z) = -j_1(z)\end{aligned}\end{align} \]0.18.0 版本新增。
参考文献
[AS]Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编辑。《数学函数手册，包含公式、图表和数学表格》。纽约：多佛，1972 年。
示例
第一类球贝塞尔函数 \(j_n\) 接受实数和复数作为第二个参数。它们可以返回复数类型
>>> from scipy.special import spherical_jn >>> spherical_jn(0, 3+5j) (-9.878987731663194-8.021894345786002j) >>> type(spherical_jn(0, 3+5j)) <class 'numpy.complex128'>
我们可以验证备注中 \(n=3\) 在区间 \([1, 2]\) 内导数的关系
>>> import numpy as np >>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01) >>> np.allclose(spherical_jn(3, x, True), ... spherical_jn(2, x) - 4/x * spherical_jn(3, x)) True
前几个具有实数参数的 \(j_n\)
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-0.5, 1.5) >>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $j_n$') >>> for n in np.arange(0, 4): ... ax.plot(x, spherical_jn(n, x), label=rf'$j_{n}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
