scipy.special.

chebyu

scipy.special.chebyu(n, monic=False)

第二类切比雪夫多项式。

定义为

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}U_n - 3x\frac{d}{dx}U_n + n(n + 2)U_n = 0;\]

\(U_n\) 是 \(n\) 阶多项式。

参数:

nint

多项式的阶。

monicbool，可选

如果值为 True，则将首项系数缩放为 1。默认值为 False。

返回:

Uorthopoly1d

第二类切比雪夫多项式。

另请参见

chebyt

第一类切比雪夫多项式。

注释

多项式 \(U_n\) 在 \([-1, 1]\) 上正交，权重函数为 \((1 - x^2)^{1/2}\)。

参考

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun（编辑）。带公式、图表和数学表的数学函数手册。纽约：Dover，1972 年。

示例

在浏览器中尝试！

第二类切比雪夫多项式的\(n\)级数可作为特定\(n \times n\)矩阵的行列式求得。以下示例可显示下列\(3 \times 3\)矩阵行列式所得出的点，准确落在\(U_3\)上。

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyu
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $U_3$')
>>> ax.plot(x, chebyu(3)(x), label=rf'$U_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[2*p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

它们满足递推关系

\[U_{2n-1}(x) = 2 T_n(x)U_{n-1}(x)\]

其中\(T_n\)为第一类切比雪夫多项式。我们来验证\(n = 2\)时的情况

>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(chebyu(3)(x), 2 * chebyt(2)(x) * chebyu(1)(x))
True

我们可以绘制出\(n\)的某些值所对应的切比雪夫多项式\(U_n\)

>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $U_n$')
>>> for n in np.arange(1,5):
...     ax.plot(x, chebyu(n)(x), label=rf'$U_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

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