scipy.special.jv#

scipy.special.jv(v, z, out=None) = <ufunc 'jv'>#

第一类贝塞尔函数，实阶数和复变元。

参数：

varray_like: 阶数（浮点数）。
zarray_like: 自变量（浮点数或复数）。
outndarray, optional: 函数值的可选输出数组

返回值：

J标量或ndarray: 贝塞尔函数的值， \(J_v(z)\).

另请参阅

jve: \(J_v\) 去掉了前导指数行为。
spherical_jn: 球面贝塞尔函数。
j0: 此函数的 0 阶更快版本。
j1: 此函数的 1 阶更快版本。

注释

对于正的 v 值，计算使用 AMOS [1] zbesj 程序进行，该程序利用与修正贝塞尔函数 \(I_v\) 的联系，

\[ \begin{align}\begin{aligned}J_v(z) = \exp(v\pi\imath/2) I_v(-\imath z)\qquad (\Im z > 0)\\J_v(z) = \exp(-v\pi\imath/2) I_v(\imath z)\qquad (\Im z < 0)\end{aligned}\end{align} \]

对于负的 v 值，公式，

\[J_{-v}(z) = J_v(z) \cos(\pi v) - Y_v(z) \sin(\pi v)\]

被使用，其中 \(Y_v(z)\) 是第二类贝塞尔函数，使用 AMOS 程序 zbesy 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高精度，对于满足 v = floor(v) 的 v 值，第二项被明确地省略。

不要与球面贝塞尔函数混淆（请参阅 spherical_jn）。

参考文献

[1]

Donald E. Amos，"AMOS，一个用于复变元和非负阶数的贝塞尔函数的可移植包"，http://netlib.org/amos/

示例

计算 0 阶函数在一个点上的值。

>>> from scipy.special import jv
>>> jv(0, 1.)
0.7651976865579666

计算不同阶数的函数在一个点上的值。

>>> jv(0, 1.), jv(1, 1.), jv(1.5, 1.)
(0.7651976865579666, 0.44005058574493355, 0.24029783912342725)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组作为参数，可以在一次调用中执行不同阶数的计算。

>>> jv([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.76519769, 0.44005059, 0.24029784])

通过为 z 提供数组，计算多个点上的 0 阶函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> jv(0, points)
array([ 0.22389078,  1.        , -0.26005195])

如果 z 是一个数组，则阶数参数 v 必须能够广播到正确的形状，如果希望在一个调用中计算不同的阶数。

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> jv(orders, points)
array([[ 0.22389078,  1.        , -0.26005195],
       [-0.57672481,  0.        ,  0.33905896]])

绘制从 -10 到 10 的 0 到 3 阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-10., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, jv(i, x), label=f'$J_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()