scipy.special.jve#

scipy.special.jve(v, z, out=None) = <ufunc 'jve'>#

指数型缩放的第一类贝塞尔函数，阶数为 v。

定义为

jve(v, z) = jv(v, z) * exp(-abs(z.imag))

参数:

varray_like: 阶数 (浮点数)。
zarray_like: 自变量 (浮点数或复数)。
outndarray, optional: 函数值的可选输出数组

返回:

J标量或 ndarray: 指数型缩放贝塞尔函数的值。

另请参阅

jv: 未缩放的第一类贝塞尔函数

注释

对于正的 v 值，计算使用 AMOS [1] zbesj 例程，该例程利用了与修正贝塞尔函数 \(I_v\) 的联系：

\[ \begin{align}\begin{aligned}J_v(z) = \exp(v\pi\imath/2) I_v(-\imath z)\qquad (\Im z > 0)\\J_v(z) = \exp(-v\pi\imath/2) I_v(\imath z)\qquad (\Im z < 0)\end{aligned}\end{align} \]

对于负的 v 值，使用以下公式：

\[J_{-v}(z) = J_v(z) \cos(\pi v) - Y_v(z) \sin(\pi v)\]

其中 \(Y_v(z)\) 是第二类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesy 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高精度，对于 v = floor(v) 的 v 值，第二项被明确省略。

指数型缩放贝塞尔函数对于大自变量 z 非常有用：对于这些情况，未缩放的贝塞尔函数很容易发生下溢或上溢。

参考文献

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order”, http://netlib.org/amos/

示例

通过计算 jv 和 jve 在 z=1000j 处阶数 v=1 的值，比较它们对于大复数自变量 z 的输出。我们看到 jv 溢出，而 jve 返回一个有限的数值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import jv, jve
>>> v = 1
>>> z = 1000j
>>> jv(v, z), jve(v, z)
((inf+infj), (7.721967686709077e-19+0.012610930256928629j))

对于实数自变量 z，jve 返回与 jv 相同的结果。

>>> v, z = 1, 1000
>>> jv(v, z), jve(v, z)
(0.004728311907089523, 0.004728311907089523)

通过为 v 提供列表或 NumPy 数组，可以同时计算多个阶数。

>>> jve([1, 3, 5], 1j)
array([1.27304208e-17+2.07910415e-01j, -4.99352086e-19-8.15530777e-03j,
       6.11480940e-21+9.98657141e-05j])

同样，通过为 z 提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中计算多个点。

>>> jve(1, np.array([1j, 2j, 3j]))
array([1.27308412e-17+0.20791042j, 1.31814423e-17+0.21526929j,
       1.20521602e-17+0.19682671j])

也可以通过为 v 和 z 提供具有兼容形状以进行广播的数组，同时计算多个阶数和多个点。计算两个不同阶数 v 和三个点 z 的 jve，结果为一个 2x3 数组。

>>> v = np.array([[1], [3]])
>>> z = np.array([1j, 2j, 3j])
>>> v.shape, z.shape
((2, 1), (3,))

>>> jve(v, z)
array([[1.27304208e-17+0.20791042j,  1.31810070e-17+0.21526929j,
        1.20517622e-17+0.19682671j],
       [-4.99352086e-19-0.00815531j, -1.76289571e-18-0.02879122j,
        -2.92578784e-18-0.04778332j]])