scipy.special.nbdtr#

scipy.special.nbdtr(k, n, p, out=None) = <ufunc 'nbdtr'>#

负二项式累积分布函数。

返回负二项式分布概率质量函数中从 0 到 k 的项之和，

\[F = \sum_{j=0}^k {{n + j - 1}\choose{j}} p^n (1 - p)^j.\]

在一系列伯努利试验中，个体成功概率为 p，这是 k 次或更少失败发生在第 n 次成功之前的概率。

参数:

karray_like: 允许的最大失败次数（非负整数）。
narray_like: 目标成功次数（正整数）。
parray_like: 单次事件的成功概率（浮点数）。
outndarray, optional: 函数结果的可选输出数组

返回:

F标量或 ndarray: 在个体成功概率为 p 的事件序列中，在 n 次成功之前发生 k 次或更少失败的概率。

另请参阅

nbdtrc: 负二项式生存函数
nbdtrik: 负二项式分位数函数
scipy.stats.nbinom: 负二项式分布

备注

如果为 k 或 n 传递浮点值，它们将被截断为整数。

这些项不是直接求和的；而是根据以下公式使用正则化不完全 Beta 函数，

\[\mathrm{nbdtr}(k, n, p) = I_{p}(n, k + 1).\]

Cephes [1] 例程 nbdtr 的包装器。

负二项式分布也可以通过 scipy.stats.nbinom 获得。与 scipy.stats.nbinom 的 cdf 方法相比，直接使用 nbdtr 可以提高性能（参见最后一个示例）。

参考文献

[1]

Cephes 数学函数库, http://www.netlib.org/cephes/

示例

计算 k=10 和 n=5 在 p=0.5 时的函数值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import nbdtr
>>> nbdtr(10, 5, 0.5)
0.940765380859375

通过为 k 提供 NumPy 数组或列表，计算 n=10 和 p=0.5 在多个点上的函数值。

>>> nbdtr([5, 10, 15], 10, 0.5)
array([0.15087891, 0.58809853, 0.88523853])

绘制四个不同参数集的函数图。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> k = np.arange(130)
>>> n_parameters = [20, 20, 20, 80]
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.8, 0.5]
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters,
...                            linestyles))
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
>>> for parameter_set in parameters_list:
...     p, n, style = parameter_set
...     nbdtr_vals = nbdtr(k, n, p)
...     ax.plot(k, nbdtr_vals, label=rf"$n={n},\, p={p}$",
...             ls=style)
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel("$k$")
>>> ax.set_title("Negative binomial cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-nbdtr-1_00_00.png

负二项式分布也可以通过 scipy.stats.nbinom 获得。与调用 scipy.stats.nbinom 的 cdf 方法相比，直接使用 nbdtr 可以快得多，特别是对于小型数组或单个值。要获得相同的结果，必须使用以下参数化：nbinom(n, p).cdf(k)=nbdtr(k, n, p)。

>>> from scipy.stats import nbinom
>>> k, n, p = 5, 3, 0.5
>>> nbdtr_res = nbdtr(k, n, p)  # this will often be faster than below
>>> stats_res = nbinom(n, p).cdf(k)
>>> stats_res, nbdtr_res  # test that results are equal
(0.85546875, 0.85546875)

nbdtr 可以通过提供与 k、n 和 p 广播兼容形状的数组来评估不同的参数集。这里我们计算三个不同的 k 在四个 p 值处的函数，结果是一个 3x4 数组。

>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
>>> p = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
>>> k.shape, p.shape
((3, 1), (4,))

>>> nbdtr(k, 5, p)
array([[0.15026833, 0.62304687, 0.95265101, 0.9998531 ],
       [0.48450894, 0.94076538, 0.99932777, 0.99999999],
       [0.76249222, 0.99409103, 0.99999445, 1.        ]])