scipy.special.shichi#

scipy.special.shichi(x, out=None) = <ufunc 'shichi'>#

双曲正弦积分和双曲余弦积分。

双曲正弦积分是

\[\int_0^x \frac{\sinh{t}}{t}dt\]

且双曲余弦积分是

\[\gamma + \log(x) + \int_0^x \frac{\cosh{t} - 1}{t} dt\]

其中 \(\gamma\) 是欧拉常数，\(\log\) 是对数函数的主值支 [1]。

参数:
xarray_like

计算双曲正弦积分和双曲余弦积分的实点或复点。

outndarray 元组，可选项

函数结果的可选输出数组

返回:
si标量或 ndarray

在 x 处的双曲正弦积分

ci标量或 ndarray

在 x 处的双曲余弦积分

另请参阅

sici

正弦积分和余弦积分。

exp1

指数积分 E1。

expi

指数积分 Ei。

注释

针对 x < 0 的实数参数，chi 是双曲余弦积分的实部。对于此类点，chi(x) 和 chi(x + 0j) 的差异为 1j*pi。

对于实数参数，此函数通过调用 Cephes 函数 [2] shichi 进行计算。对于复数参数，该算法基于 Mpmath 函数库的 [3] shi 和 chi 函数。

参考文献

[1]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun，编辑。具有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：Dover，1972 年。(参见部分 5.2。)

[2]

Cephes 数学函数库，http://www.netlib.org/cephes/

[3]

Fredrik Johansson 等。“mpmath：用于任意精度浮点运算的 Python 库” (版本 0.19)，http://mpmath.org/

示例

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.special import shichi, sici

shichi 接受实数或复数输入

>>> shichi(0.5)
(0.5069967498196671, -0.05277684495649357)
>>> shichi(0.5 + 2.5j)
((0.11772029666668238+1.831091777729851j),
 (0.29912435887648825+1.7395351121166562j))

双曲正弦和余弦积分 Shi(z) 和 Chi(z) 通过以下方式与正弦和余弦积分 Si(z) 和 Ci(z)相关联：

  • Shi(z) = -i*Si(i*z)

  • Chi(z) = Ci(-i*z) + i*pi/2

>>> z = 0.25 + 5j
>>> shi, chi = shichi(z)
>>> shi, -1j*sici(1j*z)[0]            # Should be the same.
((-0.04834719325101729+1.5469354086921228j),
 (-0.04834719325101729+1.5469354086921228j))
>>> chi, sici(-1j*z)[1] + 1j*np.pi/2  # Should be the same.
((-0.19568708973868087+1.556276312103824j),
 (-0.19568708973868087+1.556276312103824j))

绘制在实数轴上计算的这些函数

>>> xp = np.geomspace(1e-8, 4.0, 250)
>>> x = np.concatenate((-xp[::-1], xp))
>>> shi, chi = shichi(x)

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(x, shi, label='Shi(x)')
>>> ax.plot(x, chi, '--', label='Chi(x)')
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_title('Hyperbolic Sine and Cosine Integrals')
>>> ax.legend(shadow=True, framealpha=1, loc='lower right')
>>> ax.grid(True)
>>> plt.show()
../../_images/scipy-special-shichi-1.png
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