scipy.special.airy#

scipy.special.airy(z, out=None) = <ufunc 'airy'>#

艾里函数及其导数。

参数：

zarray_like: 实数或复数参数。
outndarray 元组，可选: 函数值的可选输出数组

返回值：

Ai, Aip, Bi, Bip标量或 ndarray 的 4 元组: 艾里函数 Ai 和 Bi 及其导数 Aip 和 Bip。

另请参见

airye: 指数缩放的艾里函数。

注释

艾里函数 Ai 和 Bi 是以下微分方程的两个独立解：

\[y''(x) = x y(x).\]

对于实数 z 在 [-10, 10] 范围内，计算通过调用 Cephes [1] airy 例程完成，该例程对小 z 使用幂级数求和，对大 z 使用有理极小化逼近。

在此范围之外，采用 AMOS [2] zairy 和 zbiry 例程。它们使用幂级数计算 \(|z| < 1\)，并使用以下关系对较大的 z (其中 \(t \equiv 2 z^{3/2}/3\)) 进行计算

\[ \begin{align}\begin{aligned}Ai(z) = \frac{1}{\pi \sqrt{3}} K_{1/3}(t)\\Ai'(z) = -\frac{z}{\pi \sqrt{3}} K_{2/3}(t)\\Bi(z) = \sqrt{\frac{z}{3}} \left(I_{-1/3}(t) + I_{1/3}(t) \right)\\Bi'(z) = \frac{z}{\sqrt{3}} \left(I_{-2/3}(t) + I_{2/3}(t)\right)\end{aligned}\end{align} \]

参考文献

[1]

Cephes 数学函数库，http://www.netlib.org/cephes/

[2]

Donald E. Amos，"AMOS，一个用于复数参数和非负阶贝塞尔函数的便携式软件包"，http://netlib.org/amos/

示例

在区间 [-15, 5] 上计算艾里函数。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special
>>> x = np.linspace(-15, 5, 201)
>>> ai, aip, bi, bip = special.airy(x)

绘制 Ai(x) 和 Bi(x)。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(x, ai, 'r', label='Ai(x)')
>>> plt.plot(x, bi, 'b--', label='Bi(x)')
>>> plt.ylim(-0.5, 1.0)
>>> plt.grid()
>>> plt.legend(loc='upper left')
>>> plt.show()