scipy.special.ellipe#

scipy.special.ellipe(m, out=None) = <ufunc 'ellipe'>#

第二类完全椭圆积分

此函数定义为

\[E(m) = \int_0^{\pi/2} [1 - m \sin(t)^2]^{1/2} dt\]

参数:

返回:

另请参见

注释

Cephes [1] 例程 ellpe 的包装器。

对于 m > 0，计算使用近似值，

\[E(m) \approx P(1-m) - (1-m) \log(1-m) Q(1-m),\]

其中 \(P\) 和 \(Q\) 是十阶多项式。对于 m < 0，使用关系式

\[E(m) = E(m/(m - 1)) \sqrt(1-m)\]

被使用。

关于 \(m\) 的参数化遵循 [2] 中第 17.2 节的参数化。关于互补参数 \(1 - m\)、模角 \(\sin^2(\alpha) = m\) 或模数 \(k^2 = m\) 的其他参数化也被使用，因此请注意选择正确的参数。

勒让德 E 积分通过多种方式与卡尔森的对称 R_D 或 R_G 函数相关 [3]。例如，

\[E(m) = 2 R_G(0, 1-k^2, 1) .\]

参考文献

[1]

[2]

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. 数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。纽约：多佛出版社，1972 年。

[3]

NIST 数学函数数字图书馆。 http://dlmf.nist.gov/，2020-09-15 的 1.0.28 版本。参见第 19.25(i) 节 https://dlmf.nist.gov/19.25#i

示例

此函数用于查找半长轴为 a 和半短轴为 b 的椭圆的周长。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special

>>> a = 3.5
>>> b = 2.1
>>> e_sq = 1.0 - b**2/a**2  # eccentricity squared

然后使用以下方法找到周长

>>> C = 4*a*special.ellipe(e_sq)  # circumference formula
>>> C
17.868899204378693

当 a 和 b 相同时（意味着偏心率为 0），这将简化为圆的周长。

>>> 4*a*special.ellipe(0.0)  # formula for ellipse with a = b
21.991148575128552
>>> 2*np.pi*a  # formula for circle of radius a
21.991148575128552