scipy.special.ellip#

scipy.special.ellip(m, out=None) = <ufunc 'ellip'>#

第二类完全椭圆积分

此函数的定义如下

\[E(m) = \int_0^{\pi/2} [1 - m \sin(t)^2]^{1/2} dt\]

参数:

返回:

另请参见

注释

Cephes [1] 例程 ellpe 的包装器。

对于 m > 0，计算使用近似值，

\[E(m) \approx P(1-m) - (1-m) \log(1-m) Q(1-m),\]

其中 \(P\) 和 \(Q\) 为十次多项式。对于 m < 0，使用关系

\[E(m) = E(m/(m - 1)) \sqrt(1-m)\]

使用。

根据 \(m\) 的参数化遵循 [2] 中第 17.2 节的内容。还使用了其他根据以下互补参数进行的参数化：\(1 - m\)，模角 \(\sin^2(\alpha) = m\) 或模数 \(k^2 = m\)，因此请小心，务必选择正确的参数。

勒让德 E 积分通过多种方式与卡尔森的对称 R_D 或 R_G 函数相关 [3]。例如，

\[E(m) = 2 R_G(0, 1-k^2, 1) .\]

参考

[1]

[2]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun（编）。具有公式、图形和数学表格的数学函数手册。纽约：Dover，1972 年。

[3]

NIST 数字数学函数库。http://dlmf.nist.gov/，2020 年 9 月 15 日发布 1.0.28 版。请参阅第 19.25(i) 节 https://dlmf.nist.gov/19.25#i

示例

使用半长轴 a 和半短轴 b 找出椭圆周长。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import special

>>> a = 3.5
>>> b = 2.1
>>> e_sq = 1.0 - b**2/a**2  # eccentricity squared

然后使用以下内容找出周长

>>> C = 4*a*special.ellipe(e_sq)  # circumference formula
>>> C
17.868899204378693

当 a 和 b 相同时（意味着偏心率为 0），则周长减小为圆的周长。

>>> 4*a*special.ellipe(0.0)  # formula for ellipse with a = b
21.991148575128552
>>> 2*np.pi*a  # formula for circle of radius a
21.991148575128552