scipy.spatial.transform.Rotation.

align_vectors#

classmethod Rotation.align_vectors(cls, a, b, weights=None, return_sensitivity=False)#

估计一个旋转，以最优地对齐两组向量。

找到坐标系 A 和 B 之间的旋转，该旋转能最好地对齐在这些坐标系中观察到的一组向量 a 和 b。以下损失函数被最小化以求解旋转矩阵 \(C\)

\[L(C) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} w_i \lVert \mathbf{a}_i - C \mathbf{b}_i \rVert^2 ,\]

其中 \(w_i\) 是与每个向量对应的 weights。

该旋转使用 Kabsch 算法 [1] 进行估计，并解决所谓的“指向问题”或“Wahba 问题” [2]。

有两种特殊情况。第一种情况是，如果为 a 和 b 给出一个向量，则返回对齐 b 到 a 的最短距离旋转。

第二种情况是当权重之一为无穷大时。在这种情况下，计算主要无穷权重向量之间的最短距离旋转，如上所述。然后，计算绕对齐的主要向量的旋转，使得次要向量按照上述损失函数进行最佳对齐。结果是这两个旋转的组合。通过此过程获得的结果与 Kabsch 算法的结果相同，因为相应的权重在极限中接近无穷大。对于单个次要向量，这被称为“对齐约束”算法 [3]。

对于这两种特殊情况（单个向量或无穷大权重），灵敏度矩阵没有物理意义，如果请求，将引发错误。对于无穷大权重，主要向量充当具有完美对齐的约束，因此即使它们的长度不同，它们对 rssd 的贡献也会被强制为 0。

参数:
aarray_like，形状 (3,) 或 (N, 3)

在初始坐标系 A 中观察到的向量分量。 a 的每一行表示一个向量。

barray_like，形状 (3,) 或 (N, 3)

在另一个坐标系 B 中观察到的向量分量。 b 的每一行表示一个向量。

weightsarray_like，形状 (N,)，可选

描述向量观测的相对重要性的权重。如果为 None（默认），则假定 weights 中的所有值均为 1。有且只有一个权重可以为无穷大，并且权重必须为正数。

return_sensitivitybool，可选

是否返回灵敏度矩阵。有关详细信息，请参见注释。默认为 False。

返回值:
rotationRotation 实例

将 b 变换为 a 的最佳旋转估计。

rssdfloat

代表“均方根距离”。对齐后给定向量集之间平方距离的加权和的平方根。它等于 sqrt(2 * minimum_loss)，其中 minimum_loss 是为找到的最佳旋转评估的损失函数。请注意，结果也将通过向量的幅度进行加权，因此如果完全对齐的向量对长度不相同，则将具有非零 rssd。因此，根据用例，可能需要在调用此方法之前将输入向量标准化为单位长度。

sensitivity_matrixndarray，形状 (3, 3)

估计旋转估计的灵敏度矩阵，如注释中所述。仅当 return_sensitivity 为 True 时返回。如果对齐单个向量对或存在无穷大权重，则无效，在这种情况下将引发错误。

注释

灵敏度矩阵给出了估计旋转对向量测量的微小扰动的灵敏度。具体来说，我们将旋转估计误差视为坐标系 A 的小旋转向量。灵敏度矩阵与此旋转向量的协方差成正比，前提是 a 中的向量的测量误差远小于其长度。要获得真实的协方差矩阵，必须将返回的灵敏度矩阵乘以每个观测值中方差的调和平均值 [4]。请注意，为了获得一致的结果，weights 应该与观测方差成反比。例如，如果所有向量都以相同的精度 0.01 进行测量（weights 必须全部相等），则应将灵敏度矩阵乘以 0.01**2 才能获得协方差。

有关协方差估计的更严格的讨论，请参阅 [5]。有关指向问题和最小适当指向的更多讨论，请参见 [6]。

参考文献

[3]

Magner, Robert, “Extending target tracking capabilities through trajectory and momentum setpoint optimization.” Small Satellite Conference, 2018.

[5]

F. Landis Markley, “Attitude determination using vector observations: a fast optimal matrix algorithm”, Journal of Astronautical Sciences, Vol. 41, No.2, 1993, pp. 261-280.

[6]

Bar-Itzhack, Itzhack Y., Daniel Hershkowitz, and Leiba Rodman, “Pointing in Real Euclidean Space”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 20, No. 5, 1997, pp. 916-922.

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.transform import Rotation as R

在这里，我们运行基线 Kabsch 算法以最佳对齐两组向量，其中 b 组的最后两次向量测量存在噪声

>>> a = [[0, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 1]]
>>> b = [[1, 0, 0], [1, 1.1, 0], [1, 0.9, 0]]
>>> rot, rssd, sens = R.align_vectors(a, b, return_sensitivity=True)
>>> rot.as_matrix()
array([[0., 0., 1.],
       [1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.]])

当我们对 b 应用旋转时，我们得到接近 a 的向量

>>> rot.apply(b)
array([[0. , 1. , 0. ],
       [0. , 1. , 1.1],
       [0. , 1. , 0.9]])

第一个向量的误差为 0，最后两个向量的误差幅度为 0.1。 rssd 是加权平方误差之和的平方根，默认权重都为 1，因此在本例中，rssd 计算为 sqrt(1 * 0**2 + 1 * 0.1**2 + 1 * (-0.1)**2) = 0.141421356237308

>>> a - rot.apply(b)
array([[ 0., 0.,  0. ],
       [ 0., 0., -0.1],
       [ 0., 0.,  0.1]])
>>> np.sqrt(np.sum(np.ones(3) @ (a - rot.apply(b))**2))
0.141421356237308
>>> rssd
0.141421356237308

此示例的灵敏度矩阵如下

>>> sens
array([[0.2, 0. , 0.],
       [0. , 1.5, 1.],
       [0. , 1. , 1.]])

特殊情况 1：找到单个向量之间的最小旋转

>>> a = [1, 0, 0]
>>> b = [0, 1, 0]
>>> rot, _ = R.align_vectors(a, b)
>>> rot.as_matrix()
array([[0., 1., 0.],
       [-1., 0., 0.],
       [0., 0., 1.]])
>>> rot.apply(b)
array([1., 0., 0.])

特殊情况 2：一个无穷大权重。在这里，我们找到主要向量和次要向量之间的可以精确对齐的旋转

>>> a = [[0, 1, 0], [0, 1, 1]]
>>> b = [[1, 0, 0], [1, 1, 0]]
>>> rot, _ = R.align_vectors(a, b, weights=[np.inf, 1])
>>> rot.as_matrix()
array([[0., 0., 1.],
       [1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.]])
>>> rot.apply(b)
array([[0., 1., 0.],
       [0., 1., 1.]])

在这里，必须最佳拟合次要向量

>>> a = [[0, 1, 0], [0, 1, 1]]
>>> b = [[1, 0, 0], [1, 2, 0]]
>>> rot, _ = R.align_vectors(a, b, weights=[np.inf, 1])
>>> rot.as_matrix()
array([[0., 0., 1.],
       [1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.]])
>>> rot.apply(b)
array([[0., 1., 0.],
       [0., 1., 2.]])
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