scipy.interpolate.

make_splrep

scipy.interpolate.make_splrep(x, y, *, w=None, xb=None, xe=None, k=3, s=0, t=None, nest=None)

查找一维函数的 B 样条表示。

给定数据集 (x[i], y[i])，确定区间 xb <= x <= xe 上的 k 次光滑样条近似。

参数:

x, y类数组，形状 (m,)

定义曲线 y = f(x) 的数据点。

w类数组，形状 (m,)，可选

严格正的一维权重数组，长度与 x 和 y 相同。这些权重用于计算加权最小二乘样条拟合。如果 y 值的误差的标准差由向量 d 给出，则 w 应为 1/d。默认值为 np.ones(m)。

xb, xe浮点数，可选

拟合的区间。如果为 None，则这些默认分别为 x[0] 和 x[-1]。

k整数，可选

样条拟合的次数。建议使用三次样条，k=3，这是默认值。应避免使用 k 的偶数值，尤其是当 s 值较小时。

s浮点数，可选

平滑条件。平滑量由满足以下条件确定

sum((w * (g(x)  - y))**2 ) <= s

其中 g(x) 是 (x, y) 的平滑拟合。用户可以使用 s 来控制数据接近度和拟合平滑度之间的权衡。较大的 s 表示更多的平滑，而较小的 s 值表示更少的平滑。建议的 s 值取决于权重 w。如果权重表示 y 的标准差的倒数，则应在范围 (m-sqrt(2*m), m+sqrt(2*m)) 中找到一个好的 s 值，其中 m 是 x、y 和 w 中的数据点数。默认值为 s = 0.0，即插值。

t类数组，可选

样条节点。如果为 None（默认值），则会自动构造节点。必须至少有 2*k + 2 个节点，最多有 m + k + 1 个节点。

nest整数，可选

目标节点向量长度。应该在 2*(k + 1) （次数为 k 的样条的最小节点数）和 m + k + 1 （插值样条的节点数）之间。此例程返回的实际节点数可能略大于 nest。默认值为 None（无限制，最多添加 m + k + 1 个节点）。

返回:

splBSpline 实例

对于 s=0，spl(x) == y。对于非零的 s 值，spl 表示 (x, y) 的平滑近似，通常具有较少的节点。

另请参阅

generate_knots

在幕后用于生成节点

make_splprep

此例程的参数曲线模拟

make_interp_spline

构造插值样条 (s = 0)

make_lsq_spline

构造给定节点向量的最小二乘样条

splrep

此例程的 FITPACK 模拟

注释

此例程构造平滑样条函数 \(g(x)\)，以最小化内部节点（\(x_b < t_i < x_e\)）处 k 次导数的跳跃之和 \(D_j\)，其中

\[D_i = g^{(k)}(t_i + 0) - g^{(k)}(t_i - 0)\]

具体来说，该例程构造使以下项最小化的样条函数 \(g(x)\)

\[\sum_i | D_i |^2 \to \mathrm{min}\]

前提是

\[\sum_{j=1}^m (w_j \times (g(x_j) - y_j))^2 \leqslant s ,\]

其中 \(s > 0\) 是输入参数。

换句话说，我们在最大化平滑度（衡量为导数的跳跃，第一个标准）和 \(g(x_j)\) 与数据 \(y_j\) 的偏差（第二个标准）之间取得平衡。

请注意，第二个标准中的求和是对所有数据点进行的，而第一个标准中的求和是对内部样条节点（即那些具有 xb < t[i] < xe 的节点）进行的。样条节点通常是数据的一个子集，有关详细信息，请参阅 generate_knots。

另请注意此例程与 make_lsq_spline 的区别：后一个例程不考虑平滑度，而只是简单地求解最小二乘问题

\[\sum w_j \times (g(x_j) - y_j)^2 \to \mathrm{min}\]

对于具有_固定_节点向量 t 的样条函数 \(g(x)\)。

在 1.15.0 版本中添加。

参考文献

[1]

P. Dierckx, “Algorithms for smoothing data with periodic and parametric splines, Computer Graphics and Image Processing”, 20 (1982) 171-184.

[2]

P. Dierckx, “Curve and surface fitting with splines”, Monographs on Numerical Analysis, Oxford University Press, 1993.