make_smoothing_spline#
- scipy.interpolate.make_smoothing_spline(x, y, w=None, lam=None, *, axis=0)[source]#
创建满足广义交叉验证（GCV）准则的平滑B样条。
使用
lam计算平滑三次样条函数（的系数），以控制曲线平滑程度与数据接近程度之间的权衡。如果lam为 None，则使用 GCV 准则 [1] 找到它。平滑样条是正则化加权线性回归问题的解：
\[\sum\limits_{i=1}^n w_i\lvert y_i - f(x_i) \rvert^2 + \lambda\int\limits_{x_1}^{x_n} (f^{(2)}(u))^2 d u\]其中 \(f\) 是样条函数，\(w\) 是权重向量，\(\lambda\) 是正则化参数。
如果
lam为 None，我们使用 GCV 准则找到最优正则化参数；否则，我们使用给定参数解决正则化加权线性回归问题。该参数以以下方式控制权衡：参数越大，函数越平滑。- 参数:
- xarray_like, shape (n,)
横坐标。n 必须至少为 5。
- yarray_like, shape (n, …)
纵坐标。n 必须至少为 5。
- warray_like, shape (n,), optional
权重向量。默认为
np.ones_like(x)。- lamfloat, (\(\lambda \geq 0\)), optional
正则化参数。如果
lam为 None，则通过 GCV 准则找到。默认为 None。- axisint, optional
数据轴。默认为零。假设
y.shape[axis] == n，并且y的所有其他轴都是批处理轴。
- 返回:
- func
BSpline对象 一个对象，表示一个基于 B 样条的样条曲线，其解是平滑样条问题通过 GCV 准则 [1]（如果
lam为 None）或使用给定参数lam得到的。
- func
说明
该算法是对 Woltring 在 FORTRAN [2] 中引入的算法进行的洁净室（clean room）重新实现。由于许可问题，原版不能在 SciPy 源代码中使用。重新实现的细节在此处讨论（仅俄语）[4]。
如果权重向量
w为 None，我们假设所有点在权重方面都是相等的，并且权重向量是全一向量。请注意，在加权残差平方和中，权重没有平方：\(\sum\limits_{i=1}^n w_i\lvert y_i - f(x_i) \rvert^2\)，而在
splrep中，求和是基于平方权重构建的。在初始问题病态的情况下（例如，\(X^T W X\) 乘积，其中 \(X\) 是设计矩阵，不是正定矩阵），会引发 ValueError。
参考文献
[1]G. Wahba，“估计平滑参数”，载于 Spline models for observational data，费城，宾夕法尼亚州：工业与应用数学学会，1990年，第 45-65 页。DOI:10.1137/1.9781611970128
[2]H. J. Woltring，一个用于广义交叉验证样条平滑和微分的 Fortran 包，Advances in Engineering Software, vol. 8, no. 2, pp. 104-113, 1986。DOI:10.1016/0141-1195(86)90098-7
[3]T. Hastie, J. Friedman, and R. Tisbshirani，“平滑样条”，载于 The elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and prediction，纽约：施普林格，2017年，第 241-249 页。DOI:10.1007/978-0-387-84858-7
[4]E. Zemlyanoy，“广义交叉验证平滑样条”，学士论文，2022年。https://www.hse.ru/ba/am/students/diplomas/620910604 (俄语)
示例
生成一些带噪声的数据
>>> import numpy as np >>> np.random.seed(1234) >>> n = 200 >>> def func(x): ... return x**3 + x**2 * np.sin(4 * x) >>> x = np.sort(np.random.random_sample(n) * 4 - 2) >>> y = func(x) + np.random.normal(scale=1.5, size=n)
生成平滑样条函数
>>> from scipy.interpolate import make_smoothing_spline >>> spl = make_smoothing_spline(x, y)
绘制两者
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> grid = np.linspace(x[0], x[-1], 400) >>> plt.plot(x, y, '.') >>> plt.plot(grid, spl(grid), label='Spline') >>> plt.plot(grid, func(grid), label='Original function') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
