scipy.interpolate.

BSpline#

class scipy.interpolate.BSpline(t, c, k, extrapolate=True, axis=0)[源代码]#

B样条基中的单变量样条。

\[S(x) = \sum_{j=0}^{n-1} c_j B_{j, k; t}(x)\]

其中 \(B_{j, k; t}\) 是 k 次的 B 样条基函数，并且结为 t。

参数:
tndarray, shape (n+k+1,)

结

cndarray, shape (>=n, …)

样条系数

kint

B 样条度

extrapolatebool 或 ‘periodic’，可选

是否要对基本区间 t[k] .. t[n] 之外进行外推，或者是否返回 nan。如果为 True，则对基本区间上有效的 B 样条函数的第一部分和最后一部分进行外推。如果为 ‘periodic’，则使用周期性外推。默认为 True。

axisint，可选

插值轴。默认为零。

注释

B 样条基元素定义为

\[ \begin{align}\begin{aligned}B_{i, 0}(x) = 1, \textrm{如果 }t_i \le x < t_{i+1}\textrm{，否则为 }0，\\\ B_{i, k}(x) = \frac{x - t_i}{t_{i+k} - t_i} B_{i, k-1}(x) + \frac{t_{i+k+1} - x}{t_{i+k+1} - t_{i+1}} B_{i+1, k-1}(x)\end{aligned}\end{align} \]

实现详情

  • 对于 k 阶样条，至少需要 k+1 个系数，所以 n >= k+1。忽略另外的系数 c[j]，其中 j > n。

  • k 阶 B 样条基元素在 基本区间 上形成一个单位划分，t[k] <= x <= t[n]。

参考

[2]

Carl de Boor，样条的实用指南，施普林格，2001。

示例

将 B 样条的递归定义转换为 Python 代码，如下所示

>>> def B(x, k, i, t):
...    if k == 0:
...       return 1.0 if t[i] <= x < t[i+1] else 0.0
...    if t[i+k] == t[i]:
...       c1 = 0.0
...    else:
...       c1 = (x - t[i])/(t[i+k] - t[i]) * B(x, k-1, i, t)
...    if t[i+k+1] == t[i+1]:
...       c2 = 0.0
...    else:
...       c2 = (t[i+k+1] - x)/(t[i+k+1] - t[i+1]) * B(x, k-1, i+1, t)
...    return c1 + c2

>>> def bspline(x, t, c, k):
...    n = len(t) - k - 1
...    assert (n >= k+1) and (len(c) >= n)
...    return sum(c[i] * B(x, k, i, t) for i in range(n))

请注意，这是评估 B 样条的一种低效（如果直接）的方法——此样条类以一种等效的、但高效得多的方式完成了这个过程。

接下来在基本区间 2 <= x <= 4 上构建一个二次样条函数，并与评估样条的朴素方法进行比较

>>> from scipy.interpolate import BSpline
>>> k = 2
>>> t = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
>>> c = [-1, 2, 0, -1]
>>> spl = BSpline(t, c, k)
>>> spl(2.5)
array(1.375)
>>> bspline(2.5, t, c, k)
1.375

请注意，在基本区间之外，结果不同。这是因为 BSpline 内插基本区间上有效的 B 样条函数的第一和最后多项式分段。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import numpy as np
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> xx = np.linspace(1.5, 4.5, 50)
>>> ax.plot(xx, [bspline(x, t, c ,k) for x in xx], 'r-', lw=3, label='naive')
>>> ax.plot(xx, spl(xx), 'b-', lw=4, alpha=0.7, label='BSpline')
>>> ax.grid(True)
>>> ax.legend(loc='best')
>>> plt.show()
../../_images/scipy-interpolate-BSpline-1.png
属性:
tndarray

结点向量

cndarray

样条系数

kint

样条阶数

extrapolatebool

如果为 True，则内插基本区间上有效的 B 样条函数的第一和最后多项式分段。

axisint

内插轴。

tcktuple

等效于 (self.t, self.c, self.k)（只读）。

方法

__call__(x[, nu, extrapolate])

计算样条函数。

basis_element(t[, extrapolate])

返回 B 样条基元素 B(x | t[0], ..., t[k+1])。

derivative([nu])

返回表示导数的 B 样条。

antiderivative([nu])

返回表示原函数的 B 样条。

integrate(a, b[, extrapolate])

计算样条的定积分。

insert_knot(x[, m])

插入新节 x，重数为 m。

construct_fast(t, c, k[, extrapolate, axis])

构造样条，无需进行检查。

design_matrix(x, t, k[, extrapolate])

返回设计矩阵，为 CSR 格式稀疏数组。

from_power_basis(pp[, bc_type])

从幂基的逐段多项式中构造 B 样条基的多项式。
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