scipy.interpolate.

CubicSpline

class scipy.interpolate.CubicSpline(x, y, axis=0, bc_type='not-a-knot', extrapolate=None)

三次样条数据插值器。

使用分段三次多项式插值数据，该多项式是两次连续可微的 [1]。结果表示为 PPoly 实例，其断点与给定数据匹配。

参数:

xarray_like, 形状 (n,)

包含自变量值的一维数组。值必须是实数、有限且严格递增的。

yarray_like

包含因变量值的数组。它可以具有任意数量的维度，但沿 axis （见下文）的长度必须与 x 的长度匹配。值必须是有限的。

axisint, 可选

假设 y 变化的轴。这意味着对于 x[i]，对应的值是 np.take(y, i, axis=axis)。默认为 0。

bc_type字符串或 2 元组, 可选

边界条件类型。需要由边界条件给出的两个附加方程来确定每个段上多项式的所有系数 [2]。

如果 bc_type 是字符串，则指定的条件将应用于样条线的两端。可用的条件包括

• ‘not-a-knot’ (默认): 曲线末端的第一段和第二段是相同的多项式。当没有关于边界条件的信息时，这是一个很好的默认值。

• ‘periodic’: 假设插值函数是周期为 x[-1] - x[0] 的周期函数。y 的第一个和最后一个值必须相同：y[0] == y[-1]。此边界条件将导致 y'[0] == y'[-1] 和 y''[0] == y''[-1]。

• ‘clamped’: 曲线末端的一阶导数为零。假设一个一维 y，bc_type=((1, 0.0), (1, 0.0)) 是相同的条件。

• ‘natural’: 曲线末端的二阶导数为零。假设一个一维 y，bc_type=((2, 0.0), (2, 0.0)) 是相同的条件。

如果 bc_type 是一个 2 元组，则第一个值和第二个值将分别应用于曲线的开始和结束。元组值可以是前面提到的字符串之一（除了“periodic”）或一个元组 (order, deriv_values)，允许在曲线末端指定任意导数

• order: 导数阶数，1 或 2。

• deriv_value: array_like，包含导数值，形状必须与 y 相同，不包括 axis 维度。例如，如果 y 是一维的，那么 deriv_value 必须是一个标量。如果 y 是三维的，形状为 (n0, n1, n2) 且 axis=2，那么 deriv_value 必须是二维的，形状为 (n0, n1)。

extrapolate{bool, ‘periodic’, None}, 可选

如果为 bool，则确定是否基于第一个和最后一个区间外推到超出范围的点，或者返回 NaN。如果为“periodic”，则使用周期外推。如果为 None（默认），则对于 bc_type='periodic'，extrapolate 设置为 “periodic”，否则设置为 True。

另请参阅

Akima1DInterpolator

Akima 1D 插值器。

PchipInterpolator

PCHIP 1-D 单调三次插值器。

PPoly

系数和断点方面的分段多项式。

说明

参数 bc_type 和 extrapolate 独立工作，即前者仅控制样条线的构造，后者仅控制求值。

当边界条件为“not-a-knot”且 n = 2 时，它将被替换为一阶导数等于线性插值斜率的条件。当两个边界条件都是“not-a-knot”且 n = 3 时，解是作为通过给定点的抛物线来寻找的。

当“not-a-knot”边界条件应用于两端时，生成的样条线将与 splrep（使用 s=0）和 InterpolatedUnivariateSpline 返回的相同，但这两种方法都使用 B 样条基表示。

在 0.18.0 版本中添加。

参考

[1]

Wikiversity 上的三次样条插值。

[2]

Carl de Boor, “A Practical Guide to Splines”, Springer-Verlag, 1978.

示例

在浏览器中尝试！

在此示例中，三次样条线用于插值采样的正弦波。你可以看到样条线连续性属性对于一阶和二阶导数成立，并且仅对三阶导数违反。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import CubicSpline
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(10)
>>> y = np.sin(x)
>>> cs = CubicSpline(x, y)
>>> xs = np.arange(-0.5, 9.6, 0.1)
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4))
>>> ax.plot(x, y, 'o', label='data')
>>> ax.plot(xs, np.sin(xs), label='true')
>>> ax.plot(xs, cs(xs), label="S")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 1), label="S'")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 2), label="S''")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 3), label="S'''")
>>> ax.set_xlim(-0.5, 9.5)
>>> ax.legend(loc='lower left', ncol=2)
>>> plt.show()

在第二个示例中，单位圆使用样条线进行插值。使用周期性边界条件。你可以看到周期点 (1, 0) 处的一阶导数值 ds/dx=0，ds/dy=1 被正确计算。请注意，一个圆不能完全用三次样条线表示。要提高精度，需要更多的断点。

>>> theta = 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 5)
>>> y = np.c_[np.cos(theta), np.sin(theta)]
>>> cs = CubicSpline(theta, y, bc_type='periodic')
>>> print("ds/dx={:.1f} ds/dy={:.1f}".format(cs(0, 1)[0], cs(0, 1)[1]))
ds/dx=0.0 ds/dy=1.0
>>> xs = 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 100)
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4))
>>> ax.plot(y[:, 0], y[:, 1], 'o', label='data')
>>> ax.plot(np.cos(xs), np.sin(xs), label='true')
>>> ax.plot(cs(xs)[:, 0], cs(xs)[:, 1], label='spline')
>>> ax.axes.set_aspect('equal')
>>> ax.legend(loc='center')
>>> plt.show()

第三个示例是在区间 0 <= x <= 1 上对多项式 y = x**3 进行插值。三次样条线可以精确地表示此函数。要实现这一点，我们需要指定区间端点的值和一阶导数。请注意，y' = 3 * x**2，因此 y'(0) = 0 和 y'(1) = 3。

>>> cs = CubicSpline([0, 1], [0, 1], bc_type=((1, 0), (1, 3)))
>>> x = np.linspace(0, 1)
>>> np.allclose(x**3, cs(x))
True

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属性:

xndarray, 形状 (n,)

断点。与传递给构造函数的 x 相同。

cndarray, 形状 (4, n-1, …)

每个段上多项式的系数。尾随维度与 y 的维度匹配，不包括 axis。例如，如果 y 是一维的，那么 c[k, i] 是在 x[i] 和 x[i+1] 之间的段上 (x-x[i])**(3-k) 的系数。

axisint

插值轴。与传递给构造函数的轴相同。

方法

__call__(x[, nu, extrapolate])	计算分段多项式或其导数。
derivative([nu])	构造表示导数的新分段多项式。
antiderivative([nu])	构造表示反导数的新分段多项式。
integrate(a, b[, extrapolate])	计算分段多项式的定积分。
roots([discontinuity, extrapolate])	查找分段多项式的实根。