积分 (scipy.integrate)#
scipy.integrate 子包提供了多种积分技术，包括常微分方程积分器。该模块的概述可通过 help 命令获取。
>>> help(integrate)
Methods for Integrating Functions given function object.
quad -- General purpose integration.
dblquad -- General purpose double integration.
tplquad -- General purpose triple integration.
fixed_quad -- Integrate func(x) using Gaussian quadrature of order n.
quadrature -- Integrate with given tolerance using Gaussian quadrature.
romberg -- Integrate func using Romberg integration.
Methods for Integrating Functions given fixed samples.
trapezoid -- Use trapezoidal rule to compute integral.
cumulative_trapezoid -- Use trapezoidal rule to cumulatively compute integral.
simpson -- Use Simpson's rule to compute integral from samples.
romb -- Use Romberg Integration to compute integral from
-- (2**k + 1) evenly-spaced samples.
See the special module's orthogonal polynomials (special) for Gaussian
quadrature roots and weights for other weighting factors and regions.
Interface to numerical integrators of ODE systems.
odeint -- General integration of ordinary differential equations.
ode -- Integrate ODE using VODE and ZVODE routines.
一般积分 (quad)#
函数 quad 用于计算一个变量函数在两点之间的积分。这些点可以是 \(\pm\infty\) (\(\pm\) inf) 以表示无穷限。例如，假设您希望在区间 \([0, 4.5]\) 上对贝塞尔函数 jv(2.5, x) 进行积分。
这可以使用 quad 来计算。
>>> import scipy.integrate as integrate
>>> import scipy.special as special
>>> result = integrate.quad(lambda x: special.jv(2.5,x), 0, 4.5)
>>> result
(1.1178179380783249, 7.8663172481899801e-09)
>>> from numpy import sqrt, sin, cos, pi
>>> I = sqrt(2/pi)*(18.0/27*sqrt(2)*cos(4.5) - 4.0/27*sqrt(2)*sin(4.5) +
... sqrt(2*pi) * special.fresnel(3/sqrt(pi))[0])
>>> I
1.117817938088701
>>> print(abs(result[0]-I))
1.03761443881e-11
`quad` 的第一个参数是一个“可调用”的 Python 对象（即函数、方法或类实例）。请注意，在这种情况下，参数使用的是 lambda 函数。接下来的两个参数是积分的限制。返回值是一个元组，第一个元素是积分的估计值，第二个元素是绝对积分误差的估计值。请注意，在这种情况下，此积分的真实值为
其中
是菲涅尔正弦积分。请注意，数值计算的积分与精确结果的误差在 \(1.04\times10^{-11}\) 之内——远低于报告的误差估计。
如果要积分的函数需要额外的参数，可以在 args 参数中提供。假设要计算以下积分
此积分可以使用以下代码进行评估
>>> from scipy.integrate import quad
>>> def integrand(x, a, b):
... return a*x**2 + b
...
>>> a = 2
>>> b = 1
>>> I = quad(integrand, 0, 1, args=(a,b))
>>> I
(1.6666666666666667, 1.8503717077085944e-14)
quad 也允许使用无穷输入，通过将 \(\pm\) inf 作为其中一个参数。例如，假设需要指数积分的数值
是期望的（并且忽略了该积分可以用 special.expn(n,x) 计算的事实）。函数 special.expn 的功能可以通过基于例程 quad 定义一个新的函数 vec_expint 来复制。
>>> from scipy.integrate import quad
>>> import numpy as np
>>> def integrand(t, n, x):
... return np.exp(-x*t) / t**n
...
>>> def expint(n, x):
... return quad(integrand, 1, np.inf, args=(n, x))[0]
...
>>> vec_expint = np.vectorize(expint)
>>> vec_expint(3, np.arange(1.0, 4.0, 0.5))
array([ 0.1097, 0.0567, 0.0301, 0.0163, 0.0089, 0.0049])
>>> import scipy.special as special
>>> special.expn(3, np.arange(1.0,4.0,0.5))
array([ 0.1097, 0.0567, 0.0301, 0.0163, 0.0089, 0.0049])
被积分的函数甚至可以使用 `quad` 参数（尽管由于使用 quad 导致被积函数中可能存在数值误差，误差界限可能会低估误差）。在这种情况下，积分是
>>> result = quad(lambda x: expint(3, x), 0, np.inf)
>>> print(result)
(0.33333333324560266, 2.8548934485373678e-09)
>>> I3 = 1.0/3.0
>>> print(I3)
0.333333333333
>>> print(I3 - result[0])
8.77306560731e-11
最后一个例子表明，多次积分可以通过重复调用 quad 来处理。
警告
数值积分算法在有限数量的点上对被积函数进行采样。因此，它们无法保证任意被积函数和积分限的准确结果（或准确度估计）。例如，考虑高斯积分
>>> def gaussian(x):
... return np.exp(-x**2)
>>> res = integrate.quad(gaussian, -np.inf, np.inf)
>>> res
(1.7724538509055159, 1.4202636756659625e-08)
>>> np.allclose(res[0], np.sqrt(np.pi)) # compare against theoretical result
True
由于被积函数除了原点附近外几乎为零，我们预期大而有限的积分限会得到相同的结果。然而
>>> integrate.quad(gaussian, -10000, 10000)
(1.975190562208035e-203, 0.0)
发生这种情况是因为 quad 中实现的自适应求积例程虽然按设计工作，但在如此大而有限的区间内，没有注意到函数中微小但重要的部分。为了获得最佳结果，请考虑使用紧密围绕被积函数重要部分的积分限。
>>> integrate.quad(gaussian, -15, 15)
(1.772453850905516, 8.476526631214648e-11)
具有多个重要区域的被积函数可以根据需要分解成多个部分。
一般多重积分 (dblquad, tplquad, nquad)#
双重积分和三重积分的机制已被封装到函数 dblquad 和 tplquad 中。这些函数分别接受要积分的函数和四个或六个参数。所有内部积分的限制需要定义为函数。
下面显示了一个使用双重积分计算 \(I_{n}\) 多个值的示例
>>> from scipy.integrate import quad, dblquad
>>> def I(n):
... return dblquad(lambda t, x: np.exp(-x*t)/t**n, 0, np.inf, lambda x: 1, lambda x: np.inf)
...
>>> print(I(4))
(0.2500000000043577, 1.29830334693681e-08)
>>> print(I(3))
(0.33333333325010883, 1.3888461883425516e-08)
>>> print(I(2))
(0.4999999999985751, 1.3894083651858995e-08)
对于非恒定限的例子，考虑积分
此积分可以使用以下表达式进行评估（请注意，内部积分的上限使用了非恒定 lambda 函数）
>>> from scipy.integrate import dblquad
>>> area = dblquad(lambda x, y: x*y, 0, 0.5, lambda x: 0, lambda x: 1-2*x)
>>> area
(0.010416666666666668, 1.1564823173178715e-16)
对于 n 重积分，scipy 提供了函数 nquad。积分边界是一个可迭代对象：可以是常数边界列表，也可以是非常数积分边界的函数列表。积分顺序（以及因此的边界）是从最内层积分到最外层积分。
上述积分
可以计算为
>>> from scipy import integrate
>>> N = 5
>>> def f(t, x):
... return np.exp(-x*t) / t**N
...
>>> integrate.nquad(f, [[1, np.inf],[0, np.inf]])
(0.20000000000002294, 1.2239614263187945e-08)
请注意，f 的参数顺序必须与积分边界的顺序匹配；即，对 \(t\) 的内层积分在区间 \([1, \infty]\) 上，对 \(x\) 的外层积分在区间 \([0, \infty]\) 上。
非恒定积分边界可以类似地处理；上述示例
可以通过以下方式评估
>>> from scipy import integrate
>>> def f(x, y):
... return x*y
...
>>> def bounds_y():
... return [0, 0.5]
...
>>> def bounds_x(y):
... return [0, 1-2*y]
...
>>> integrate.nquad(f, [bounds_x, bounds_y])
(0.010416666666666668, 4.101620128472366e-16)
这与之前的结果相同。
高斯求积#
fixed_quad 在固定区间上执行固定阶高斯求积。此函数使用 scipy.special 提供的正交多项式集合，该集合可以计算各种正交多项式的根和求积权重（多项式本身作为特殊函数提供，返回多项式类的实例——例如，special.legendre）。
使用样本进行积分#
如果样本等间距且可用样本数量为某个整数 \(k\) 的 \(2^{k}+1\)，则可以使用 Romberg romb 积分来利用可用样本获得积分的高精度估计。Romberg 积分使用步长为 2 的幂的梯形法则，然后对这些估计值进行 Richardson 外推，以更高精度近似积分。
对于任意间距的样本，可以使用函数 trapezoid 和 simpson。它们分别使用 1 阶和 2 阶的牛顿-科茨公式进行积分。梯形法则将函数近似为相邻点之间的直线，而辛普森法则将三个相邻点之间的函数近似为抛物线。
对于等间距的奇数个样本，如果函数是 3 阶或更低阶的多项式，辛普森法则结果精确。如果样本不等间距，则只有当函数是 2 阶或更低阶的多项式时，结果才精确。
>>> import numpy as np
>>> def f1(x):
... return x**2
...
>>> def f2(x):
... return x**3
...
>>> x = np.array([1,3,4])
>>> y1 = f1(x)
>>> from scipy import integrate
>>> I1 = integrate.simpson(y1, x=x)
>>> print(I1)
21.0
这完全对应于
而对第二个函数进行积分
>>> y2 = f2(x)
>>> I2 = integrate.simpson(y2, x=x)
>>> print(I2)
61.5
不对应于
因为 f2 中多项式的阶数大于二。
使用低级回调函数进行更快的积分#
希望减少积分时间的用户可以通过 scipy.LowLevelCallable 将 C 函数指针传递给 quad、dblquad、tplquad 或 nquad，它将进行积分并返回 Python 中的结果。这里的性能提升来源于两个因素。主要的改进是函数评估速度更快，这是通过函数本身的编译提供的。此外，通过消除 quad 中 C 和 Python 之间的函数调用，也提供了加速。对于像正弦这样简单的函数，此方法可以提供约 2 倍的速度提升，但对于更复杂的函数，可以产生更显著的提升（10 倍以上）。因此，此功能面向那些愿意编写少量 C 代码以显著减少计算时间、进行数值密集型积分的用户。
例如，此方法可以通过 ctypes 通过几个简单步骤使用
1.) 用 C 语言编写一个被积函数，其函数签名为 double f(int n, double *x, void *user_data)，其中 x 是一个包含函数 f 求值点的数组，user_data 是您希望提供的任意附加数据。
/* testlib.c */
double f(int n, double *x, void *user_data) {
double c = *(double *)user_data;
return c + x[0] - x[1] * x[2]; /* corresponds to c + x - y * z */
}
2.) 现在将此文件编译为共享/动态库（快速搜索将有助于此操作，因为它依赖于操作系统）。用户必须链接使用的任何数学库等。在 Linux 上，这看起来像
$ gcc -shared -fPIC -o testlib.so testlib.c
输出库将被称为 testlib.so，但它可能具有不同的文件扩展名。现在已经创建了一个可以使用 ctypes 加载到 Python 中的库。
3.) 使用 ctypes 将共享库加载到 Python 中，并设置 restypes 和 argtypes - 这允许 SciPy 正确解释函数
import os, ctypes
from scipy import integrate, LowLevelCallable
lib = ctypes.CDLL(os.path.abspath('testlib.so'))
lib.f.restype = ctypes.c_double
lib.f.argtypes = (ctypes.c_int, ctypes.POINTER(ctypes.c_double), ctypes.c_void_p)
c = ctypes.c_double(1.0)
user_data = ctypes.cast(ctypes.pointer(c), ctypes.c_void_p)
func = LowLevelCallable(lib.f, user_data)
函数中的最后一个 void *user_data 是可选的，如果不需要可以省略（在 C 函数和 ctypes argtypes 中均可）。请注意，坐标作为双精度数组传递，而不是单独的参数。
4.) 现在像往常一样积分库函数，这里使用 nquad
>>> integrate.nquad(func, [[0, 10], [-10, 0], [-1, 1]])
(1200.0, 1.1102230246251565e-11)
Python 元组按预期在更短的时间内返回。所有可选参数都可以与此方法一起使用，包括指定奇点、无穷边界等。
常微分方程 (solve_ivp)#
在给定初始条件的情况下积分一组常微分方程 (ODEs) 是另一个有用的例子。SciPy 中提供了函数 solve_ivp 用于积分一阶向量微分方程
给出初始条件 \(\mathbf{y}\left(0\right)=\mathbf{y}_{0}\)，其中 \(\mathbf{y}\) 是一个长度为 \(N\) 的向量，\(\mathbf{f}\) 是从 \(\mathbb{R}^{N}\) 到 \(\mathbb{R}^{N}\) 的映射。高阶常微分方程总是可以通过在 \(\mathbf{y}\) 向量中引入中间导数来简化为这种类型的微分方程。
例如，假设需要找到以下二阶微分方程的解
初始条件为 \(w\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\) 和 \(\left.\frac{dw}{dz}\right|_{z=0}=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}.\) 已知此微分方程在这些边界条件下的解是 Airy 函数
这提供了一种使用 special.airy 检查积分器的方法。
首先，通过设置 \(\mathbf{y}=\left[\frac{dw}{dz},w\right]\) 和 \(t=z\) 将此 ODE 转换为标准形式。因此，微分方程变为
换句话说，
一个有趣的提醒是，如果 \(\mathbf{A}\left(t\right)\) 在矩阵乘法下与 \(\int_{0}^{t}\mathbf{A}\left(\tau\right)\, d\tau\) 可交换，则此线性微分方程使用矩阵指数具有精确解
然而，在这种情况下，\(\mathbf{A}\left(t\right)\) 及其积分不可交换。
此微分方程可以使用函数 solve_ivp 求解。它需要导数 fprime、时间范围 [t_start, t_end] 和初始条件向量 y0 作为输入参数，并返回一个对象，其 y 字段是一个以连续解值作为列的数组。因此，初始条件在第一个输出列中给出。
>>> from scipy.integrate import solve_ivp
>>> from scipy.special import gamma, airy
>>> y1_0 = +1 / 3**(2/3) / gamma(2/3)
>>> y0_0 = -1 / 3**(1/3) / gamma(1/3)
>>> y0 = [y0_0, y1_0]
>>> def func(t, y):
... return [t*y[1],y[0]]
...
>>> t_span = [0, 4]
>>> sol1 = solve_ivp(func, t_span, y0)
>>> print("sol1.t: {}".format(sol1.t))
sol1.t: [0. 0.10097672 1.04643602 1.91060117 2.49872472 3.08684827
3.62692846 4. ]
可以看出，solve_ivp 如果不另行指定，会自动确定其时间步长。为了将 solve_ivp 的解与 airy 函数进行比较，将 solve_ivp 创建的时间向量传递给 airy 函数。
>>> print("sol1.y[1]: {}".format(sol1.y[1]))
sol1.y[1]: [0.35502805 0.328952 0.12801343 0.04008508 0.01601291 0.00623879
0.00356316 0.00405982]
>>> print("airy(sol.t)[0]: {}".format(airy(sol1.t)[0]))
airy(sol.t)[0]: [0.35502805 0.328952 0.12804768 0.03995804 0.01575943 0.00562799
0.00201689 0.00095156]
solve_ivp 使用其标准参数得到的解与 `airy` 函数存在较大偏差。为了最小化此偏差，可以使用相对和绝对容差。
>>> rtol, atol = (1e-8, 1e-8)
>>> sol2 = solve_ivp(func, t_span, y0, rtol=rtol, atol=atol)
>>> print("sol2.y[1][::6]: {}".format(sol2.y[1][0::6]))
sol2.y[1][::6]: [0.35502805 0.19145234 0.06368989 0.0205917 0.00554734 0.00106409]
>>> print("airy(sol2.t)[0][::6]: {}".format(airy(sol2.t)[0][::6]))
airy(sol2.t)[0][::6]: [0.35502805 0.19145234 0.06368989 0.0205917 0.00554733 0.00106406]
为了指定 solve_ivp 解的用户定义时间点，solve_ivp 提供了两种可以互补使用的方法。通过将 t_eval 选项传递给函数调用，solve_ivp 会在其输出中返回这些 `t_eval` 时间点的解。
>>> import numpy as np
>>> t = np.linspace(0, 4, 100)
>>> sol3 = solve_ivp(func, t_span, y0, t_eval=t)
如果函数雅可比矩阵已知，可以将其传递给 solve_ivp 以获得更好的结果。然而请注意，默认的积分方法 RK45 不支持雅可比矩阵，因此必须选择另一种积分方法。支持雅可比矩阵的积分方法之一是以下示例中的 Radau 方法。
>>> def gradient(t, y):
... return [[0,t], [1,0]]
>>> sol4 = solve_ivp(func, t_span, y0, method='Radau', jac=gradient)
求解具有带状雅可比矩阵的系统#
可以告知 odeint 雅可比矩阵是*带状的*。对于已知为刚性的大型微分方程系统，这可以显著提高性能。
举例来说，我们将使用线法 [MOL] 求解一维 Gray-Scott 偏微分方程。在区间 \(x \in [0, L]\) 上，函数 \(u(x, t)\) 和 \(v(x, t)\) 的 Gray-Scott 方程为
其中 \(D_u\) 和 \(D_v\) 分别是分量 \(u\) 和 \(v\) 的扩散系数，\(f\) 和 \(k\) 是常数。（有关该系统的更多信息，请参阅 http://groups.csail.mit.edu/mac/projects/amorphous/GrayScott/）
我们将假设 Neumann（即“无通量”）边界条件
为了应用线法，我们通过定义 \(N\) 个均匀间隔的点 \(\left\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\right\}\) 的网格来离散化 \(x\) 变量，其中 \(x_0 = 0\) 和 \(x_{N-1} = L\)。我们定义 \(u_j(t) \equiv u(x_k, t)\) 和 \(v_j(t) \equiv v(x_k, t)\)，并用有限差分替换 \(x\) 导数。也就是说，
那么我们有一个包含 \(2N\) 个常微分方程的系统
为方便起见，已省略 \((t)\) 参数。
为了强制边界条件，我们引入“鬼点” \(x_{-1}\) 和 \(x_N\)，并定义 \(u_{-1}(t) \equiv u_1(t)\)，\(u_N(t) \equiv u_{N-2}(t)\)；\(v_{-1}(t)\) 和 \(v_N(t)\) 也类似定义。
那么
以及
我们的完整的 \(2N\) 个常微分方程系统是针对 \(k = 1, 2, \ldots, N-2\) 的 (1)，以及 (2) 和 (3)。
现在我们可以开始在代码中实现这个系统。我们必须将 \(\{u_k\}\) 和 \(\{v_k\}\) 组合成一个长度为 \(2N\) 的向量。两个显而易见的选择是 \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\) 和 \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\)。从数学上讲，这没有关系，但选择会影响 odeint 求解系统的效率。原因在于顺序如何影响雅可比矩阵非零元素的模式。
当变量按 \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\) 顺序排列时，雅可比矩阵的非零元素模式为
变量交错为 \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\) 的雅可比模式为
在两种情况下，都只有五个非平凡对角线，但当变量交错时，带宽会小得多。也就是说，主对角线以及紧邻主对角线上方和下方的两条对角线是非零对角线。这很重要，因为 odeint 的输入 mu 和 ml 是雅可比矩阵的上限和下限带宽。当变量交错时，mu 和 ml 为 2。当变量按 \(\{u_k\}\) 之后跟着 \(\{v_k\}\) 堆叠时，上下带宽均为 \(N\)。
做出这个决定后，我们就可以编写实现微分方程系统的函数了。
首先，我们定义系统源项和反应项的函数
def G(u, v, f, k):
return f * (1 - u) - u*v**2
def H(u, v, f, k):
return -(f + k) * v + u*v**2
接下来，我们定义计算微分方程系统右侧的函数
def grayscott1d(y, t, f, k, Du, Dv, dx):
"""
Differential equations for the 1-D Gray-Scott equations.
The ODEs are derived using the method of lines.
"""
# The vectors u and v are interleaved in y. We define
# views of u and v by slicing y.
u = y[::2]
v = y[1::2]
# dydt is the return value of this function.
dydt = np.empty_like(y)
# Just like u and v are views of the interleaved vectors
# in y, dudt and dvdt are views of the interleaved output
# vectors in dydt.
dudt = dydt[::2]
dvdt = dydt[1::2]
# Compute du/dt and dv/dt. The end points and the interior points
# are handled separately.
dudt[0] = G(u[0], v[0], f, k) + Du * (-2.0*u[0] + 2.0*u[1]) / dx**2
dudt[1:-1] = G(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Du * np.diff(u,2) / dx**2
dudt[-1] = G(u[-1], v[-1], f, k) + Du * (- 2.0*u[-1] + 2.0*u[-2]) / dx**2
dvdt[0] = H(u[0], v[0], f, k) + Dv * (-2.0*v[0] + 2.0*v[1]) / dx**2
dvdt[1:-1] = H(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Dv * np.diff(v,2) / dx**2
dvdt[-1] = H(u[-1], v[-1], f, k) + Dv * (-2.0*v[-1] + 2.0*v[-2]) / dx**2
return dydt
我们不会实现一个计算雅可比矩阵的函数，但我们会告诉 odeint 雅可比矩阵是带状的。这使得底层求解器 (LSODA) 能够避免计算已知为零的值。对于大型系统，这会显著提高性能，如下面的 ipython 会话所示。
首先，我们定义所需的输入
In [30]: rng = np.random.default_rng()
In [31]: y0 = rng.standard_normal(5000)
In [32]: t = np.linspace(0, 50, 11)
In [33]: f = 0.024
In [34]: k = 0.055
In [35]: Du = 0.01
In [36]: Dv = 0.005
In [37]: dx = 0.025
在不利用雅可比矩阵带状结构的情况下，计算时间
In [38]: %timeit sola = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx))
1 loop, best of 3: 25.2 s per loop
现在设置 ml=2 和 mu=2，以便 odeint 知道雅可比矩阵是带状的。
In [39]: %timeit solb = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx), ml=2, mu=2)
10 loops, best of 3: 191 ms per loop
这快了很多！
让我们确保它们计算出相同的结果
In [41]: np.allclose(sola, solb)
Out[41]: True