scipy.integrate.

quad#

scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None, wopts=None, maxp1=50, limlst=50, complex_func=False)[源代码]#

计算定积分。

使用 Fortran 库 QUADPACK 中的技术，对 func 从 a 到 b（可能为无限区间）进行积分。

参数:

func{函数, scipy.LowLevelCallable}

要积分的 Python 函数或方法。如果 func 接受多个参数，则沿与第一个参数对应的轴进行积分。

如果用户希望提高积分性能，则 f 可以是具有以下签名之一的 scipy.LowLevelCallable

double func(double x)
double func(double x, void *user_data)
double func(int n, double *xx)
double func(int n, double *xx, void *user_data)

The user_data is the data contained in the scipy.LowLevelCallable. In the call forms with xx, n is the length of the xx array which contains xx[0] == x and the rest of the items are numbers contained in the args argument of quad.

此外，为了向后兼容，还支持某些 ctypes 调用签名，但不应在新代码中使用这些签名。

afloat

积分的下限（使用 -numpy.inf 表示负无穷）。

bfloat

积分的上限（使用 numpy.inf 表示正无穷）。

argstuple, 可选

要传递给 func 的额外参数。

full_outputint, 可选

非零值以返回积分信息的字典。如果非零，则还会禁止显示警告消息，并将该消息附加到输出元组。

complex_funcbool, 可选

指示函数的 (func) 返回类型是实数 (complex_func=False：默认) 还是复数 (complex_func=True)。在这两种情况下，函数的参数都是实数。如果 full_output 也非零，则实部和虚部的 infodict、message 和 explain 将在具有键“real output”和“imag output”的字典中返回。

返回:

yfloat: func 从 a 到 b 的积分。
abserrfloat: 结果中绝对误差的估计值。
infodictdict: 包含其他信息的字典。
message: 收敛消息。
explain: 仅附加 ‘cos’ 或 ‘sin’ 加权和无限积分限制，它包含 infodict[‘ierlst’] 中代码的解释

其他参数:

epsabsfloat 或 int, 可选: 绝对误差容限。默认值为 1.49e-8。quad 尝试获得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精度，其中 i = func 从 a 到 b 的积分，result 是数值近似值。请参见下面的 epsrel。
epsrelfloat 或 int, 可选: 相对误差容限。默认值为 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，则 epsrel 必须大于 5e-29 和 50 * (机器 epsilon)。请参见上面的 epsabs。
limitfloat 或 int, 可选: 自适应算法中使用的子区间数的上限。
points(浮点数、整数序列), 可选: 有界积分区间中被积函数的局部困难可能发生的断点序列（例如，奇点、不连续性）。该序列不必排序。请注意，此选项不能与 weight 结合使用。
weightfloat 或 int, 可选: 指示加权函数的字符串。可以在下面找到此参数和其余参数的完整说明。
wvar可选: 用于加权函数的变量。
wopts可选: 用于重用切比雪夫矩的可选输入。
maxp1float 或 int, 可选: 切比雪夫矩数的上限。
limlstint, 可选: 用于正弦加权和无限端点的循环数上限（>=3）。

参见

dblquad: 二重积分
tplquad: 三重积分
nquad: n 维积分（递归使用 quad）
fixed_quad: 固定阶高斯求积
simpson: 采样数据的积分器
romb: 采样数据的积分器
scipy.special: 用于正交多项式的系数和根

备注

为了获得有效结果，积分必须收敛；不保证发散积分的行为。

quad() 输入和输出的额外信息

如果 full_output 非零，则第三个输出参数 (infodict) 是一个字典，其中包含如下表所示的条目。对于无限限制，范围将转换为 (0,1)，并给出关于此转换范围的可选输出。令 M 为输入参数 limit，令 K 为 infodict[‘last’]。这些条目为

‘neval’: 函数求值的次数。
‘last’: 细分过程中产生的子区间数 K。
‘alist’: 长度为 M 的秩 1 数组，其前 K 个元素是积分范围分区中子区间的左端点。
‘blist’: 长度为 M 的秩 1 数组，其前 K 个元素是子区间的右端点。
‘rlist’: 长度为 M 的秩 1 数组，其前 K 个元素是子区间上的积分近似值。
‘elist’: 长度为 M 的秩 1 数组，其前 K 个元素是子区间上绝对误差估计的模。
‘iord’: 长度为 M 的秩 1 整数数组，其前 L 个元素是指向子区间上的误差估计的指针，如果 K<=M/2+2 则 L=K，否则 L=M+1-K。令 I 为序列 infodict['iord']，令 E 为序列 infodict['elist']。然后 E[I[1]], ..., E[I[L]] 形成递减序列。

如果提供了输入参数 points（即，它不是 None），则以下附加输出将放入输出字典中。假设点序列的长度为 P。

‘pts’: 一个长度为 P+2 的秩为 1 的数组，包含积分限和区间断点，并按升序排列。此数组给出了将要进行积分的子区间。
‘level’: 一个长度为 M (=limit) 的秩为 1 的整数数组，包含子区间的分段级别，即，如果 (aa,bb) 是 (pts[1], pts[2]) 的子区间，其中 pts[0] 和 pts[2] 是 infodict['pts'] 的相邻元素，则 (aa,bb) 的级别为 l 如果 |bb-aa| = |pts[2]-pts[1]| * 2**(-l)。
‘ndin’: 一个长度为 P+2 的秩为 1 的整数数组。在首次对区间 (pts[1], pts[2]) 进行积分后，某些区间的误差估计可能被人为地增加，以便推进它们的分段。此数组在与发生这种情况的子区间对应的槽中包含 1。

被积函数的加权

输入变量 weight 和 wvar 用于通过选择的函数列表对被积函数进行加权。使用不同的积分方法来计算具有这些加权函数的积分，并且这些方法不支持指定断点。weight 的可能值和相应的加权函数如下。

`weight`	使用的加权函数	`wvar`
‘cos’	cos(w*x)	wvar = w
‘sin’	sin(w*x)	wvar = w
‘alg’	g(x) = ((x-a)*alpha)((b-x)**beta)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-loga’	g(x)*log(x-a)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-logb’	g(x)*log(b-x)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-log’	g(x)log(x-a)log(b-x)	wvar = (alpha, beta)
‘cauchy’	1/(x-c)	wvar = c

wvar 根据选择的权重保存参数 w、(alpha, beta) 或 c。在这些表达式中，a 和 b 是积分限。

对于 ‘cos’ 和 ‘sin’ 加权，可以使用额外的输入和输出。

对于有限积分限，积分是使用 Clenshaw-Curtis 方法执行的，该方法使用切比雪夫矩。对于重复计算，这些矩保存在输出字典中

‘momcom’: 已计算的切比雪夫矩的最大级别，即，如果 M_c 是 infodict['momcom']，则矩已针对长度为 |b-a| * 2**(-l) 的区间计算，l=0,1,...,M_c。
‘nnlog’: 一个长度为 M(=limit) 的秩为 1 的整数数组，包含子区间的分段级别，即，如果对应的子区间是 |b-a|* 2**(-l)，则此数组的元素等于 l。
‘chebmo’: 一个形状为 (25, maxp1) 的秩为 2 的数组，包含计算出的切比雪夫矩。可以通过将此数组作为序列 wopts 的第二个元素传递，并将 infodict['momcom'] 作为第一个元素传递，将其传递到同一区间的积分。

如果其中一个积分限是无限的，则计算傅里叶积分（假设 w 不等于 0）。如果 full_output 为 1 并且遇到数值错误，除了附加到输出元组的错误消息之外，还会将一个字典附加到输出元组，该字典将数组 info['ierlst'] 中的错误代码转换为英文消息。输出信息字典包含以下条目，而不是 ‘last’、‘alist’、‘blist’、‘rlist’ 和 ‘elist’

‘lst’: 积分所需的子区间数（称之为 K_f）。
‘rslst’: 一个长度为 M_f=limlst 的秩为 1 的数组，其前 K_f 个元素包含区间 (a+(k-1)c, a+kc) 上的积分贡献，其中 c = (2*floor(|w|) + 1) * pi / |w| 和 k=1,2,...,K_f。
‘erlst’: 一个长度为 M_f 的秩为 1 的数组，包含 infodict['rslist'] 中相同位置的区间对应的误差估计。
‘ierlst’: 一个长度为 M_f 的秩为 1 的整数数组，包含 infodict['rslist'] 中相同位置的区间对应的错误标志。有关代码的含义，请参见解释字典（输出元组中的最后一个条目）。

QUADPACK 级别例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节详细介绍了调用每个例程的条件以及每个例程的简短描述。调用的例程取决于 weight、points 以及积分限 a 和 b。

QUADPACK 例程	weight	points	无限边界
qagse	None	否	否
qagie	None	否	是
qagpe	None	是	否
qawoe	‘sin’，‘cos’	否	否
qawfe	‘sin’，‘cos’	否	a 或 b 中的任一个
qawse	‘alg*’	否	否
qawce	‘cauchy’	否	否

以下内容提供了来自 [1] 的每个例程的简短描述。

qagse

是一个基于全局自适应区间细分的积分器，结合外推，它将消除几种类型的被积函数奇点的影响。

qagie

处理无限区间上的积分。无限范围被映射到有限区间，然后应用与 QAGS 中相同的策略。

qagpe

与 QAGS 的用途相同，但还允许用户提供关于问题点的明确信息，即被积函数内部奇点、不连续和其他困难的横坐标。

qawoe

是一个用于计算有限区间 [a,b] 上 \(\int^b_a \cos(\omega x)f(x)dx\) 或 \(\int^b_a \sin(\omega x)f(x)dx\) 的积分器，其中 \(\omega\) 和 \(f\) 由用户指定。规则评估组件基于修改后的 Clenshaw-Curtis 技术

自适应细分方案与外推过程结合使用，该外推过程是 QAGS 中的修改版，并允许该算法处理 \(f(x)\) 中的奇点。

qawfe

计算用户提供的 \(\omega\) 和 \(f\) 的傅里叶变换 \(\int^\infty_a \cos(\omega x)f(x)dx\) 或 \(\int^\infty_a \sin(\omega x)f(x)dx\)。QAWO 的过程应用于连续的有限区间，并通过 \(\varepsilon\)-算法将收敛加速应用于积分近似值系列。

qawse

近似计算 \(\int^b_a w(x)f(x)dx\)，其中 \(a < b\)，其中 \(w(x) = (x-a)^{\alpha}(b-x)^{\beta}v(x)\)，且 \(\alpha,\beta > -1\)，其中 \(v(x)\) 可以是以下函数之一：\(1\)、\(\log(x-a)\)、\(\log(b-x)\)、\(\log(x-a)\log(b-x)\)。

用户指定 \(\alpha\)、\(\beta\) 和函数 \(v\) 的类型。应用全局自适应细分策略，在包含 a 或 b 的那些子区间上进行修改的 Clenshaw-Curtis 积分。

qawce

计算 \(\int^b_a f(x) / (x-c)dx\)，其中积分必须解释为柯西主值积分，对于用户指定的 \(c\) 和 \(f\)。该策略是全局自适应的。修改的 Clenshaw-Curtis 积分用于包含点 \(x = c\) 的那些区间。

实变量的复函数积分

实变量的复值函数 \(f\) 可以写为 \(f = g + ih\)。类似地，\(f\) 的积分可以写为

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx + i\int_a^b h(x) dx\]

假设 \(g\) 和 \(h\) 的积分在区间 \([a,b]\) 上存在 [2]。因此，quad 通过分别积分实部和虚部来积分复值函数。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

[2]

McCullough, Thomas; Phillips, Keith (1973). Foundations of Analysis in the Complex Plane. Holt Rinehart Winston. ISBN 0-03-086370-8

示例

计算 \(\int^4_0 x^2 dx\) 并与解析结果进行比较

>>> from scipy import integrate
>>> import numpy as np
>>> x2 = lambda x: x**2
>>> integrate.quad(x2, 0, 4)
(21.333333333333332, 2.3684757858670003e-13)
>>> print(4**3 / 3.)  # analytical result
21.3333333333

计算 \(\int^\infty_0 e^{-x} dx\)

>>> invexp = lambda x: np.exp(-x)
>>> integrate.quad(invexp, 0, np.inf)
(1.0, 5.842605999138044e-11)

计算 \(\int^1_0 a x \,dx\)，对于 \(a = 1, 3\)

>>> f = lambda x, a: a*x
>>> y, err = integrate.quad(f, 0, 1, args=(1,))
>>> y
0.5
>>> y, err = integrate.quad(f, 0, 1, args=(3,))
>>> y
1.5

使用 ctypes 计算 \(\int^1_0 x^2 + y^2 dx\)，将 y 参数保持为 1

testlib.c =>
    double func(int n, double args[n]){
        return args[0]*args[0] + args[1]*args[1];}
compile to library testlib.*

from scipy import integrate
import ctypes
lib = ctypes.CDLL('/home/.../testlib.*') #use absolute path
lib.func.restype = ctypes.c_double
lib.func.argtypes = (ctypes.c_int,ctypes.c_double)
integrate.quad(lib.func,0,1,(1))
#(1.3333333333333333, 1.4802973661668752e-14)
print((1.0**3/3.0 + 1.0) - (0.0**3/3.0 + 0.0)) #Analytic result
# 1.3333333333333333

请注意，与积分区间的大小相比，脉冲形状和其他尖锐特征可能无法使用此方法正确积分。此限制的一个简化示例是在积分范围内使用许多零值积分 y 轴反射阶跃函数。

>>> y = lambda x: 1 if x<=0 else 0
>>> integrate.quad(y, -1, 1)
(1.0, 1.1102230246251565e-14)
>>> integrate.quad(y, -1, 100)
(1.0000000002199108, 1.0189464580163188e-08)
>>> integrate.quad(y, -1, 10000)
(0.0, 0.0)