scipy.integrate.

tplquad#

scipy.integrate.tplquad(func, a, b, gfun, hfun, qfun, rfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)[source]#

计算三重（定）积分。

返回 func(z, y, x) 在 x = a..b、y = gfun(x)..hfun(x) 和 z = qfun(x,y)..rfun(x,y) 上的三重积分。

参数：

func函数: 一个 Python 函数或方法，至少包含三个变量，顺序为 (z, y, x)。
a, b浮点数: x 的积分限：a < b
gfun函数或浮点数: y 的下边界曲线，它是一个接受单个浮点参数 (x) 并返回浮点结果的函数，或者是一个表示常数边界曲线的浮点数。
hfun函数或浮点数: y 的上边界曲线（与 gfun 要求相同）。
qfun函数或浮点数: z 的下边界曲面。它必须是一个接受两个浮点数（顺序为 (x, y)）并返回浮点数的函数，或者是一个表示常数边界曲面的浮点数。
rfun函数或浮点数: z 的上边界曲面。（与 qfun 要求相同。）
args元组，可选: 要传递给 func 的额外参数。
epsabs浮点数，可选: 直接传递给最内层一维求积积分的绝对容差。默认为 1.49e-8。
epsrel浮点数，可选: 最内层一维积分的相对容差。默认为 1.49e-8。

返回：

y浮点数: 结果积分。
abserr浮点数: 误差的估计值。

另请参阅

quad: 使用 QUADPACK 的自适应求积
fixed_quad: 固定阶高斯求积
dblquad: 二重积分
nquad: N 维积分
romb: 采样数据积分器
simpson: 采样数据积分器
scipy.special: 正交多项式的系数和根

注意事项

为获得有效结果，积分必须收敛；不保证发散积分的行为。

QUADPACK 级别例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节提供了每个例程被调用的条件以及每个例程的简短描述。对于每个积分级别，如果限制是有限的，则使用 qagse，如果任何限制（或两者！）是无限的，则使用 qagie。以下提供了 [1] 中每个例程的简短描述。

qagse: 是一种基于全局自适应区间细分结合外推法的积分器，可消除多种类型的被积函数奇异点的影响。积分是在每个子区间内使用 21 点高斯-科隆罗德求积法执行的。
qagie: 处理无限区间的积分。无限范围被映射到有限区间，然后应用与 QAGS 相同的策略。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

示例

计算 x * y * z 的三重积分，x 范围从 1 到 2，y 范围从 2 到 3，z 范围从 0 到 1。即，\(\int^{x=2}_{x=1} \int^{y=3}_{y=2} \int^{z=1}_{z=0} x y z \,dz \,dy \,dx\)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda z, y, x: x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 1, 2, 2, 3, 0, 1)
(1.8749999999999998, 3.3246447942574074e-14)

计算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=1-2x}_{y=0} \int^{z=1-x-2y}_{z=0} x y z \,dz \,dy \,dx\)。注意：qfun/rfun 以 (x, y) 的顺序接受参数，即使 f 以 (z, y, x) 的顺序接受参数。

>>> f = lambda z, y, x: x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, lambda x: 1-2*x, 0, lambda x, y: 1-x-2*y)
(0.05416666666666668, 2.1774196738157757e-14)

计算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} \int^{z=1}_{z=0} a x y z \,dz \,dy \,dx\)，其中 \(a=1, 3\)。

>>> f = lambda z, y, x, a: a*x*y*z
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, 1, 0, 1, args=(1,))
    (0.125, 5.527033708952211e-15)
>>> integrate.tplquad(f, 0, 1, 0, 1, 0, 1, args=(3,))
    (0.375, 1.6581101126856635e-14)

计算三维高斯积分，即高斯函数 \(f(x,y,z) = e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的积分。即，计算积分 \(\iiint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})} \,dz \,dy\,dx\)。

>>> f = lambda x, y, z: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2))
>>> integrate.tplquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (5.568327996830833, 4.4619078828029765e-08)