scipy.integrate.

dblquad#

scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)[source]#

计算二重积分。

返回 func(y, x) 在 x = a..b 和 y = gfun(x)..hfun(x) 上的二重（定）积分。

参数:

func可调用对象: 一个至少有两个变量的 Python 函数或方法：y 必须是第一个参数，x 是第二个参数。
a, b浮点数: x 的积分限：a < b
gfun可调用对象或浮点数: y 的下边界曲线，它是一个接受单个浮点参数 (x) 并返回浮点结果的函数，或一个表示常数边界曲线的浮点数。
hfun可调用对象或浮点数: y 的上边界曲线（要求与 gfun 相同）。
args序列，可选: 要传递给 func 的额外参数。
epsabs浮点数，可选: 直接传递给内部一维求积积分的绝对容差。默认值为 1.49e-8。dblquad 试图获得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精度，其中 i 是 func(y, x) 从 gfun(x) 到 hfun(x) 的内部积分，result 是数值近似。请参阅下面的 epsrel。
epsrel浮点数，可选: 内部一维积分的相对容差。默认值为 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，则 epsrel 必须大于 5e-29 和 50 * (机器 epsilon)。请参阅上面的 epsabs。

返回:

y浮点数: 积分结果。
abserr浮点数: 误差估计。

另请参阅

quad: 单重积分
tplquad: 三重积分
nquad: N 维积分
fixed_quad: 固定阶高斯求积
simpson: 采样数据积分器
romb: 采样数据积分器
scipy.special: 用于正交多项式的系数和根

说明

为了获得有效结果，积分必须收敛；不保证发散积分的行为。

QUADPACK 级别例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节详细介绍了每个例程被调用的条件以及每个例程的简要说明。对于每个积分级别，有限限度使用 qagse，如果任一（或两者！）限度为无穷大，则使用 qagie。以下是 [1] 中对每个例程的简要说明。

qagse: 是一个基于全局自适应区间细分结合外推法的积分器，它可以消除几种类型的被积函数奇异性的影响。积分是在每个子区间内使用 21 点高斯-科隆罗德求积法执行的。
qagie: 处理无限区间的积分。无限范围被映射到一个有限区间，然后应用与 QAGS 中相同的策略。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2。

示例

计算 x * y**2 在 x 从 0 到 2，y 从 0 到 1 的区域上的二重积分。即 \(\int^{x=2}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} x y^2 \,dy \,dx\)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda y, x: x*y**2
>>> integrate.dblquad(f, 0, 2, 0, 1)
    (0.6666666666666667, 7.401486830834377e-15)

计算 \(\int^{x=\pi/4}_{x=0} \int^{y=\cos(x)}_{y=\sin(x)} 1 \,dy \,dx\)。

>>> f = lambda y, x: 1
>>> integrate.dblquad(f, 0, np.pi/4, np.sin, np.cos)
    (0.41421356237309503, 1.1083280054755938e-14)

计算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=2-x}_{y=x} a x y \,dy \,dx\)，其中 \(a=1, 3\)。

>>> f = lambda y, x, a: a*x*y
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(1,))
    (0.33333333333333337, 5.551115123125783e-15)
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(3,))
    (0.9999999999999999, 1.6653345369377348e-14)

计算二维高斯积分，即高斯函数 \(f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的积分。即计算积分 \(\iint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2})} \,dy\,dx\)。

>>> f = lambda x, y: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2))
>>> integrate.dblquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (3.141592653589777, 2.5173086737433208e-08)