scipy.integrate.

dblquad#

scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)[source]#

计算二重积分。

返回 func(y, x) 在 x = a..b 和 y = gfun(x)..hfun(x) 上的二重（定）积分。

参数:

func可调用对象: 一个至少有两个变量的 Python 函数或方法：y 必须是第一个参数，x 是第二个参数。
a, b浮点数: x 的积分上限：a < b
gfun可调用对象或浮点数: y 的下边界曲线，该曲线是一个函数，接收一个浮点型参数 (x)，并返回一个浮点型结果，或者一个浮点数，表示一个常数边界曲线。
hfun可调用对象或浮点数: y 的上边界曲线（与 gfun 具有相同的需求）。
args序列，可选: 传递给 func 的额外参数。
epsabs浮点数，可选: 直接传递给内部一维求积积分的绝对容差。默认值为 1.49e-8。 dblquad 试图获得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精度，其中 i = func(y, x) 从 gfun(x) 到 hfun(x) 的内部积分，result 是数值近似值。参见下面的 epsrel。
epsrel浮点数，可选: 内部一维积分的相对容差。默认值为 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，则 epsrel 必须大于 5e-29 和 50 * (机器 epsilon)。参见上面的 epsabs。

返回:

y浮点数: 得到的积分。
abserr浮点数: 误差估计。

参见

quad: 单积分
tplquad: 三重积分
nquad: N 维积分
fixed_quad: 固定阶高斯求积
simpson: 采样数据的积分器
romb: 采样数据的积分器
scipy.special: 用于正交多项式的系数和根

备注

为了得到有效的结果，积分必须收敛；对于发散积分的行为没有保证。

QUADPACK 级例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节提供每个例程被调用的条件以及每个例程的简短描述。对于每个积分级别，qagse 用于有限极限，或者 qagie 用于其中一个极限（或两个极限！）是无穷大的情况。以下提供了 [1] 中对每个例程的简短描述。

qagse: 是一个基于全局自适应区间细分的积分器，并结合了外推法，可以消除几种类型被积函数奇点的影响。
qagie: 处理无穷区间上的积分。无穷范围被映射到有限区间，然后应用与 QAGS 相同的策略。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: A subroutine package for automatic integration. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

示例

计算 x * y**2 在 x 范围为 0 到 2 且 y 范围为 0 到 1 的盒子上的二重积分。也就是说，\(\int^{x=2}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} x y^2 \,dy \,dx\).

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda y, x: x*y**2
>>> integrate.dblquad(f, 0, 2, 0, 1)
    (0.6666666666666667, 7.401486830834377e-15)

计算 \(\int^{x=\pi/4}_{x=0} \int^{y=\cos(x)}_{y=\sin(x)} 1 \,dy \,dx\).

>>> f = lambda y, x: 1
>>> integrate.dblquad(f, 0, np.pi/4, np.sin, np.cos)
    (0.41421356237309503, 1.1083280054755938e-14)

计算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=2-x}_{y=x} a x y \,dy \,dx\)，其中 \(a=1, 3\).

>>> f = lambda y, x, a: a*x*y
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(1,))
    (0.33333333333333337, 5.551115123125783e-15)
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(3,))
    (0.9999999999999999, 1.6653345369377348e-14)

计算二维高斯积分，即高斯函数 \(f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的积分。也就是说，计算积分 \(\iint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2})} \,dy\,dx\).

>>> f = lambda x, y: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2))
>>> integrate.dblquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (3.141592653589777, 2.5173086737433208e-08)