傅里叶变换 (scipy.fft)

傅里叶分析是一种将函数表示为周期分量之和，并从这些分量中恢复信号的方法。当函数及其傅里叶变换都被离散化时，它被称为离散傅里叶变换（DFT）。DFT 已经成为数值计算的主要支柱，部分原因是它有一种非常快速的计算算法，称为快速傅里叶变换（FFT），高斯（1805 年）就已知道它，并且由 Cooley 和 Tukey 以当前的形式将其公之于众 [CT65]。Press 等人 [NR07] 提供了一个关于傅里叶分析及其应用的易于理解的介绍。

快速傅里叶变换

一维离散傅里叶变换

长度为 \(N\) 的长度为 \(N\) 序列 x[n] 的 FFT y[k] 定义为

\[y[k] = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-2 \pi j \frac{k n}{N} } x[n] \, ,\]

逆变换定义如下

\[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} e^{2 \pi j \frac{k n}{N} } y[k] \, .\]

这些变换可以分别通过 fft 和 ifft 来计算，如下例所示。

>>> from scipy.fft import fft, ifft
>>> import numpy as np
>>> x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])
>>> y = fft(x)
>>> y
array([ 4.5       +0.j        ,  2.08155948-1.65109876j,
       -1.83155948+1.60822041j, -1.83155948-1.60822041j,
        2.08155948+1.65109876j])
>>> yinv = ifft(y)
>>> yinv
array([ 1.0+0.j,  2.0+0.j,  1.0+0.j, -1.0+0.j,  1.5+0.j])

从 FFT 的定义可以看出

\[y[0] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, .\]

在示例中

>>> np.sum(x)
4.5

这对应于 \(y[0]\)。对于 N 为偶数，元素 \(y[1]...y[N/2-1]\) 包含正频率项，而元素 \(y[N/2]...y[N-1]\) 包含负频率项，按负频率递减的顺序排列。对于 N 为奇数，元素 \(y[1]...y[(N-1)/2]\) 包含正频率项，而元素 \(y[(N+1)/2]...y[N-1]\) 包含负频率项，按负频率递减的顺序排列。

如果序列 x 是实值，则正频率的 \(y[n]\) 值是负频率的 \(y[n]\) 值的共轭（因为频谱是对称的）。通常，仅绘制对应于正频率的 FFT。

该示例绘制了两个正弦波之和的 FFT。

>>> from scipy.fft import fft, fftfreq
>>> import numpy as np
>>> # Number of sample points
>>> N = 600
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
>>> y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
>>> yf = fft(y)
>>> xf = fftfreq(N, T)[:N//2]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[0:N//2]))
>>> plt.grid()
>>> plt.show()

FFT 输入信号本身是截断的。这种截断可以建模为无限信号与矩形窗函数的乘法。在频谱域中，这种乘法变成信号频谱与窗函数频谱的卷积，形式为 \(\sin(x)/x\)。这种卷积是称为频谱泄漏的效应的原因（请参见 [WPW]）。使用专用窗函数对信号进行加窗有助于减轻频谱泄漏。下面的示例使用 scipy.signal 中的 Blackman 窗口，并显示了加窗的效果（为了说明目的，FFT 的零分量已被截断）。

>>> from scipy.fft import fft, fftfreq
>>> import numpy as np
>>> # Number of sample points
>>> N = 600
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
>>> y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
>>> yf = fft(y)
>>> from scipy.signal.windows import blackman
>>> w = blackman(N)
>>> ywf = fft(y*w)
>>> xf = fftfreq(N, T)[:N//2]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.semilogy(xf[1:N//2], 2.0/N * np.abs(yf[1:N//2]), '-b')
>>> plt.semilogy(xf[1:N//2], 2.0/N * np.abs(ywf[1:N//2]), '-r')
>>> plt.legend(['FFT', 'FFT w. window'])
>>> plt.grid()
>>> plt.show()

如果序列 x 是复值，则频谱不再对称。为了简化 FFT 函数的使用，scipy 提供了以下两个辅助函数。

函数 fftfreq 返回 FFT 采样频率点。

>>> from scipy.fft import fftfreq
>>> freq = fftfreq(8, 0.125)
>>> freq
array([ 0., 1., 2., 3., -4., -3., -2., -1.])

类似地，函数 fftshift 允许交换向量的下半部分和上半部分，使其适合显示。

>>> from scipy.fft import fftshift
>>> x = np.arange(8)
>>> fftshift(x)
array([4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3])

下面的示例绘制了两个复指数的 FFT；请注意不对称频谱。

>>> from scipy.fft import fft, fftfreq, fftshift
>>> import numpy as np
>>> # number of signal points
>>> N = 400
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np.linspace(0.0, N*T, N, endpoint=False)
>>> y = np.exp(50.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.exp(-80.0 * 1.j * 2.0*np.pi*x)
>>> yf = fft(y)
>>> xf = fftfreq(N, T)
>>> xf = fftshift(xf)
>>> yplot = fftshift(yf)
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(xf, 1.0/N * np.abs(yplot))
>>> plt.grid()
>>> plt.show()

函数 rfft 计算实数序列的 FFT，并仅输出一半频率范围的复数 FFT 系数 \(y[n]\)。其余的负频率分量由实数输入的 FFT 的厄米对称性隐含（y[n] = conj(y[-n])）。如果 N 为偶数：\([Re(y[0]) + 0j, y[1], ..., Re(y[N/2]) + 0j]\)；如果 N 为奇数 \([Re(y[0]) + 0j, y[1], ..., y[N/2]\)。明确显示为 \(Re(y[k]) + 0j\) 的项被限制为纯实数，因为根据埃尔米特性质，它们是它们自身的复共轭。

相应的函数 irfft 使用这种特殊顺序计算 FFT 系数的 IFFT。

>>> from scipy.fft import fft, rfft, irfft
>>> x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5, 1.0])
>>> fft(x)
array([ 5.5 +0.j        ,  2.25-0.4330127j , -2.75-1.29903811j,
        1.5 +0.j        , -2.75+1.29903811j,  2.25+0.4330127j ])
>>> yr = rfft(x)
>>> yr
array([ 5.5 +0.j        ,  2.25-0.4330127j , -2.75-1.29903811j,
        1.5 +0.j        ])
>>> irfft(yr)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5,  1. ])
>>> x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])
>>> fft(x)
array([ 4.5       +0.j        ,  2.08155948-1.65109876j,
       -1.83155948+1.60822041j, -1.83155948-1.60822041j,
        2.08155948+1.65109876j])
>>> yr = rfft(x)
>>> yr
array([ 4.5       +0.j        ,  2.08155948-1.65109876j,
        -1.83155948+1.60822041j])

请注意，奇数和偶数长度信号的 rfft 具有相同的形状。默认情况下，irfft 假定输出信号应为偶数长度。因此，对于奇数信号，它将给出错误的结果

>>> irfft(yr)
array([ 1.70788987,  2.40843925, -0.37366961,  0.75734049])

要恢复原始的奇数长度信号，我们必须通过 n 参数传递输出形状。

>>> irfft(yr, n=len(x))
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

二维和 N 维离散傅里叶变换

函数 fft2 和 ifft2 分别提供二维 FFT 和 IFFT。同样，fftn 和 ifftn 分别提供 N 维 FFT 和 IFFT。

对于实数输入信号，类似于 rfft，我们有用于二维实数变换的函数 rfft2 和 irfft2；以及用于 N 维实数变换的 rfftn 和 irfftn。

下面的示例演示了二维 IFFT 并绘制了得到的（二维）时域信号。

>>> from scipy.fft import ifftn
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import matplotlib.cm as cm
>>> import numpy as np
>>> N = 30
>>> f, ((ax1, ax2, ax3), (ax4, ax5, ax6)) = plt.subplots(2, 3, sharex='col', sharey='row')
>>> xf = np.zeros((N,N))
>>> xf[0, 5] = 1
>>> xf[0, N-5] = 1
>>> Z = ifftn(xf)
>>> ax1.imshow(xf, cmap=cm.Reds)
>>> ax4.imshow(np.real(Z), cmap=cm.gray)
>>> xf = np.zeros((N, N))
>>> xf[5, 0] = 1
>>> xf[N-5, 0] = 1
>>> Z = ifftn(xf)
>>> ax2.imshow(xf, cmap=cm.Reds)
>>> ax5.imshow(np.real(Z), cmap=cm.gray)
>>> xf = np.zeros((N, N))
>>> xf[5, 10] = 1
>>> xf[N-5, N-10] = 1
>>> Z = ifftn(xf)
>>> ax3.imshow(xf, cmap=cm.Reds)
>>> ax6.imshow(np.real(Z), cmap=cm.gray)
>>> plt.show()

离散余弦变换

SciPy 提供了使用函数 dct 的 DCT 和使用函数 idct 的相应 IDCT。DCT 有 8 种类型 [WPC], [Mak]；但是，scipy 中只实现了前 4 种类型。“The” DCT 通常指的是 DCT 类型 2，“the” 逆 DCT 通常指的是 DCT 类型 3。此外，DCT 系数可以以不同的方式进行归一化（对于大多数类型，scipy 提供 None 和 ortho）。dct/idct 函数调用的两个参数允许设置 DCT 类型和系数归一化。

对于一维数组 x，dct(x, norm=’ortho’) 等于 MATLAB dct(x)。

I 型 DCT

SciPy 使用以下未归一化的 DCT-I 定义 (norm=None)

\[y[k] = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2\sum_{n=1}^{N-2} x[n] \cos\left(\frac{\pi nk}{N-1}\right), \qquad 0 \le k < N.\]

请注意，DCT-I 仅支持输入大小 > 1。

II 型 DCT

SciPy 使用以下未归一化的 DCT-II 定义 (norm=None)

\[y[k] = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos \left({\pi(2n+1)k \over 2N} \right) \qquad 0 \le k < N.\]

对于归一化的 DCT (norm='ortho')，DCT 系数 \(y[k]\) 乘以一个比例因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \sqrt{1/(4N)}, & \text{if $k = 0$} \\ \sqrt{1/(2N)}, & \text{otherwise} \end{cases} \, .\end{split}\]

在这种情况下，DCT“基函数” \(\phi_k[n] = 2 f \cos \left({\pi(2n+1)k \over 2N} \right)\) 变为正交

\[\sum_{n=0}^{N-1} \phi_k[n] \phi_l[n] = \delta_{lk}.\]

III 型 DCT

SciPy 使用以下未归一化的 DCT-III 定义 (norm=None)

\[y[k] = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x[n] \cos\left({\pi n(2k+1) \over 2N}\right) \qquad 0 \le k < N,\]

或者，对于 norm='ortho'

\[y[k] = {x_0\over\sqrt{N}} + {2\over\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N-1} x[n] \cos\left({\pi n(2k+1) \over 2N}\right) \qquad 0 \le k < N.\]

IV 型 DCT

SciPy 使用以下未归一化的 DCT-IV 定义 (norm=None)

\[y[k] = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos\left({\pi (2n+1)(2k+1) \over 4N}\right) \qquad 0 \le k < N,\]

或者，对于 norm='ortho'

\[y[k] = \sqrt{2\over N}\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos\left({\pi (2n+1)(2k+1) \over 4N}\right) \qquad 0 \le k < N\]

DCT 和 IDCT

（未归一化的）DCT-III 是（未归一化的）DCT-II 的逆，直至一个 2N 的因子。正交化的 DCT-III 正好是正交化的 DCT-II 的逆。函数 idct 执行 DCT 和 IDCT 类型之间的映射，以及正确的归一化。

下面的示例显示了不同类型和归一化下 DCT 和 IDCT 之间的关系。

>>> from scipy.fft import dct, idct
>>> x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])

DCT-II 和 DCT-III 互为逆变换，因此对于正交变换，我们会返回原始信号。

>>> dct(dct(x, type=2, norm='ortho'), type=3, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

但是，在默认归一化下执行相同操作时，我们会得到一个额外的比例因子 \(2N=10\)，因为正向变换是未归一化的。

>>> dct(dct(x, type=2), type=3)
array([ 10.,  20.,  10., -10.,  15.])

因此，我们应该对两者使用相同的类型使用函数 idct，从而给出正确归一化的结果。

>>> # Normalized inverse: no scaling factor
>>> idct(dct(x, type=2), type=2)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

对于 DCT-I，可以看到类似的结果，它是自身的逆，直至一个 \(2(N-1)\) 的因子。

>>> dct(dct(x, type=1, norm='ortho'), type=1, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])
>>> # Unnormalized round-trip via DCT-I: scaling factor 2*(N-1) = 8
>>> dct(dct(x, type=1), type=1)
array([ 8. ,  16.,  8. , -8. ,  12.])
>>> # Normalized inverse: no scaling factor
>>> idct(dct(x, type=1), type=1)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

对于 DCT-IV，也是自身的逆，直至一个 \(2N\) 的因子。

>>> dct(dct(x, type=4, norm='ortho'), type=4, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])
>>> # Unnormalized round-trip via DCT-IV: scaling factor 2*N = 10
>>> dct(dct(x, type=4), type=4)
array([ 10.,  20.,  10., -10.,  15.])
>>> # Normalized inverse: no scaling factor
>>> idct(dct(x, type=4), type=4)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

示例

DCT 具有“能量压缩特性”，这意味着对于许多信号，只有前几个 DCT 系数具有显著的幅度。将其他系数置零会导致较小的重建误差，这一事实被利用在有损信号压缩中（例如，JPEG 压缩）。

下面的示例显示了一个信号 x 和两个从信号的 DCT 系数重建的信号 (\(x_{20}\) 和 \(x_{15}\))。信号 \(x_{20}\) 是从前 20 个 DCT 系数重建的，\(x_{15}\) 是从前 15 个 DCT 系数重建的。可以看出，使用 20 个系数的相对误差仍然非常小（约 0.1%），但提供了五倍的压缩率。

>>> from scipy.fft import dct, idct
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> N = 100
>>> t = np.linspace(0,20,N, endpoint=False)
>>> x = np.exp(-t/3)*np.cos(2*t)
>>> y = dct(x, norm='ortho')
>>> window = np.zeros(N)
>>> window[:20] = 1
>>> yr = idct(y*window, norm='ortho')
>>> sum(abs(x-yr)**2) / sum(abs(x)**2)
0.0009872817275276098
>>> plt.plot(t, x, '-bx')
>>> plt.plot(t, yr, 'ro')
>>> window = np.zeros(N)
>>> window[:15] = 1
>>> yr = idct(y*window, norm='ortho')
>>> sum(abs(x-yr)**2) / sum(abs(x)**2)
0.06196643004256714
>>> plt.plot(t, yr, 'g+')
>>> plt.legend(['x', '$x_{20}$', '$x_{15}$'])
>>> plt.grid()
>>> plt.show()

离散正弦变换

SciPy 使用函数 dst 提供 DST [Mak]，并使用函数 idst 提供相应的 IDST。

理论上，对于偶/奇边界条件和边界偏移的不同组合，DST 有 8 种类型 [WPS]，scipy 中仅实现了前 4 种类型。

I 型 DST

DST-I 假定输入在 n=-1 和 n=N 周围是奇数的。SciPy 使用以下未归一化的 DST-I 定义 (norm=None)

\[y[k] = 2\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin\left( \pi {(n+1) (k+1)}\over{N+1} \right), \qquad 0 \le k < N.\]

另请注意，DST-I 仅支持输入大小 > 1。（未归一化的）DST-I 是自身的逆，直至一个 2(N+1) 的因子。

II 型 DST

DST-II 假定输入在 n=-1/2 周围是奇数，在 n=N 周围是偶数。SciPy 使用以下未归一化的 DST-II 定义 (norm=None)

\[y[k] = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin\left( {\pi (n+1/2)(k+1)} \over N \right), \qquad 0 \le k < N.\]

III 型 DST

DST-III 假定输入在 n=-1 周围是奇数，在 n=N-1 周围是偶数。SciPy 使用以下未归一化的 DST-III 定义 (norm=None)

\[y[k] = (-1)^k x[N-1] + 2 \sum_{n=0}^{N-2} x[n] \sin \left( {\pi (n+1)(k+1/2)} \over N \right), \qquad 0 \le k < N.\]

IV 型 DST

SciPy 使用以下未归一化的 DST-IV 定义 (norm=None)

\[y[k] = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin\left({\pi (2n+1)(2k+1) \over 4N}\right) \qquad 0 \le k < N,\]

或者，对于 norm='ortho'

\[y[k] = \sqrt{2\over N}\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \sin\left({\pi (2n+1)(2k+1) \over 4N}\right) \qquad 0 \le k < N,\]

DST 和 IDST

以下示例显示了不同类型和归一化下 DST 和 IDST 之间的关系。

>>> from scipy.fft import dst, idst
>>> x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])

DST-II 和 DST-III 互为逆变换，因此对于正交变换，我们会返回原始信号。

>>> dst(dst(x, type=2, norm='ortho'), type=3, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

但是，在默认归一化下执行相同操作时，我们会得到一个额外的比例因子 \(2N=10\)，因为正向变换是未归一化的。

>>> dst(dst(x, type=2), type=3)
array([ 10.,  20.,  10., -10.,  15.])

因此，我们应该使用 idst 函数，并对两者使用相同的类型，以获得正确归一化的结果。

>>> idst(dst(x, type=2), type=2)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

对于 DST-I，也可以看到类似的结果，它本身是其逆变换，直到一个 \(2(N-1)\) 的因子。

>>> dst(dst(x, type=1, norm='ortho'), type=1, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])
>>>  # scaling factor 2*(N+1) = 12
>>> dst(dst(x, type=1), type=1)
array([ 12.,  24.,  12., -12.,  18.])
>>>  # no scaling factor
>>> idst(dst(x, type=1), type=1)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

对于 DST-IV，情况也是如此，它本身也是其逆变换，直到一个 \(2N\) 的因子。

>>> dst(dst(x, type=4, norm='ortho'), type=4, norm='ortho')
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])
>>>  # scaling factor 2*N = 10
>>> dst(dst(x, type=4), type=4)
array([ 10.,  20.,  10., -10.,  15.])
>>>  # no scaling factor
>>> idst(dst(x, type=4), type=4)
array([ 1. ,  2. ,  1. , -1. ,  1.5])

快速汉克尔变换

SciPy 提供了 fht 和 ifht 函数，用于对数间隔的输入数组执行快速汉克尔变换 (FHT) 及其逆变换 (IFHT)。

FHT 是由 [Ham00] 定义的连续汉克尔变换的离散化版本

\[A(k) = \int_{0}^{\infty} \! a(r) \, J_{\mu}(kr) \, k \, dr \;,\]

其中 \(J_{\mu}\) 是 \(\mu\) 阶的贝塞尔函数。在变量替换 \(r \to \log r\), \(k \to \log k\) 下，上式变为

\[A(e^{\log k}) = \int_{0}^{\infty} \! a(e^{\log r}) \, J_{\mu}(e^{\log k + \log r}) \, e^{\log k + \log r} \, d{\log r}\]

这在对数空间中是一个卷积。FHT 算法使用 FFT 在离散输入数据上执行此卷积。

必须注意尽量减少由于 FFT 卷积的循环特性而引起的数值振铃。为了确保低振铃条件 [Ham00] 成立，可以使用 fhtoffset 函数计算的偏移量来稍微移动输出数组。

参考文献

[CT65]

Cooley, James W., 和 John W. Tukey, 1965, “一种用于机器计算复数傅里叶级数的算法”, Math. Comput. 19: 297-301.

[NR07]

Press, W., Teukolsky, S., Vetterline, W.T., 和 Flannery, B.P., 2007, 数值食谱：科学计算的艺术，第 12-13 章。剑桥大学出版社，英国剑桥。

[Mak] (1,2)

J. Makhoul, 1980, ‘一维和二维快速余弦变换’, IEEE 语音、声学和信号处理汇刊 vol. 28(1), pp. 27-34, DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351

[Ham00] (1,2)

A. J. S. Hamilton, 2000, “非线性功率谱的不相关模式”, MNRAS, 312, 257. DOI:10.1046/j.1365-8711.2000.03071.x

[WPW]

https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function

[WPC]

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

[WPS]

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_sine_transform