scipy.fft.

dct#

scipy.fft.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False, workers=None, orthogonalize=None)[source]#

返回任意类型序列 x 的离散余弦变换。

参数：

xarray_like: 输入数组。
type{1, 2, 3, 4}, optional: DCT 的类型（参见注释）。默认类型为 2。
nint, optional: 变换的长度。如果 n < x.shape[axis]，则截断 x。如果 n > x.shape[axis]，则用零填充 x。默认情况下，n = x.shape[axis]。
axisint, optional: 计算 DCT 的轴；默认情况下，它作用于最后一个轴（即，axis=-1）。
norm{“backward”, “ortho”, “forward”}, optional: 归一化模式（参见注释）。默认值为“backward”。
overwrite_xbool, optional: 如果为 True，则可以销毁 x 的内容；默认值为 False。
workersint, optional: 用于并行计算的最多工作线程数。如果为负数，则该值将从 os.cpu_count() 中循环。有关更多详细信息，请参见 fft。
orthogonalizebool, optional: 是否使用正交化 DCT 变体（参见注释）。当 norm="ortho" 时默认为 True，否则为 False。

版本 1.8.0 中添加。

返回：

yndarray of real: 变换后的输入数组。

另请参见

idct: 逆 DCT

注释

对于单维数组 x，dct(x, norm='ortho') 等于 MATLAB dct(x)。

警告

对于 type in {1, 2, 3}，norm="ortho" 打破了与直接傅里叶变换的直接对应关系。要恢复它，必须指定 orthogonalize=False。

对于 norm="ortho"，dct 和 idct 在两个方向上都按相同的整体因子进行缩放。默认情况下，变换也进行了正交化，对于类型 1、2 和 3，这意味着变换定义被修改以给出 DCT 矩阵的正交性（见下文）。

对于 norm="backward"，dct 没有缩放，而 idct 按 1/N 进行缩放，其中 N 是 DCT 的“逻辑”大小。对于 norm="forward"，1/N 归一化应用于正向 dct，而 idct 没有归一化。

从理论上讲，DCT 有 8 种类型，SciPy 只实现了前 4 种类型。’the’ DCT 通常指 DCT 类型 2，而 ‘the’ 逆 DCT 通常指 DCT 类型 3。

类型 I

DCT-I 的定义有很多种；我们使用以下定义（对于 norm="backward"）

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果 orthogonalize=True，则 x[0] 和 x[N-1] 乘以 \(\sqrt{2}\) 的缩放因子，而 y[0] 和 y[N-1] 除以 \(\sqrt{2}\)。当与 norm="ortho" 结合使用时，这使得相应的系数矩阵正交 (O @ O.T = np.eye(N))。

注意

DCT-I 仅支持输入大小 > 1。

类型 II

DCT-II 的定义有很多种；我们使用以下定义（对于 norm="backward"）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 orthogonalize=True，则 y[0] 除以 \(\sqrt{2}\)，当与 norm="ortho" 结合使用时，这使得相应的系数矩阵正交 (O @ O.T = np.eye(N))。

类型 III

有很多种定义，我们使用以下定义（对于 norm="backward"）

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

如果 orthogonalize=True，则 x[0] 项乘以 \(\sqrt{2}\)，当与 norm="ortho" 结合使用时，这使得相应的系数矩阵正交 (O @ O.T = np.eye(N))。

(未归一化的) DCT-III 是 (未归一化的) DCT-II 的逆，最多相差一个因子 2N。正交化的 DCT-III 正好是正交化的 DCT-II 的逆。

类型 IV

DCT-IV 的定义有很多种；我们使用以下定义（对于 norm="backward"）

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

orthogonalize 在这里没有影响，因为 DCT-IV 矩阵本身已经是正交的，最多相差一个 2N 的缩放因子。

参考文献

[1]

‘A Fast Cosine Transform in One and Two Dimensions’，作者 J. Makhoul，IEEE Transactions on acoustics, speech and signal processing 第 28 卷(1)，第 27-34 页，DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351 (1980)。

[2]

维基百科，“离散余弦变换”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

示例

类型 1 DCT 等效于 FFT（尽管速度更快），用于实数、偶对称输入。输出也是实数、偶对称的。FFT 输入的一半用于生成 FFT 输出的一半

>>> from scipy.fft import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])