scipy.integrate.

Radau#

class scipy.integrate.Radau(fun, t0, y0, t_bound, max_step=inf, rtol=0.001, atol=1e-06, jac=None, jac_sparsity=None, vectorized=False, first_step=None, **extraneous)[source]#

Radau IIA 族 5 阶隐式 Runge-Kutta 方法。

实现遵循 [1]。误差由三阶精确嵌入公式控制。满足配置条件的三次多项式用于密集输出。

参数：

fun可调用对象

系统的右侧：状态 y 在时间 t 处的时变导数。调用签名为 fun(t, y)，其中 t 是标量，y 是具有 len(y) = len(y0) 的 ndarray。 fun 必须返回与 y 形状相同的数组。有关更多信息，请参见 vectorized。

t0浮点数

初始时间。

y0类数组，形状 (n,)

初始状态。

t_bound浮点数

边界时间 - 积分不会超出该时间。它还确定积分方向。

first_step浮点数或 None，可选

初始步长。默认值为 None，这意味着算法应该自行选择。

max_step浮点数，可选

允许的最大步长。默认值为 np.inf，即步长不受限制，完全由求解器决定。

rtol, atol浮点数和类数组，可选

相对和绝对容差。求解器保持局部误差估计小于 atol + rtol * abs(y)。这里 rtol 控制相对精度（正确位数），而 atol 控制绝对精度（正确小数位数）。要实现所需的 rtol，请将 atol 设置为小于 rtol * abs(y) 的最小值，以便 rtol 占主导地位。如果 atol 大于 rtol * abs(y)，则不能保证正确位数。反之，要实现所需的 atol，请设置 rtol，使其使 rtol * abs(y) 始终小于 atol。如果 y 的分量具有不同的比例，则通过为 atol 传递形状为 (n,) 的类数组，可以为不同的分量设置不同的 atol 值。默认值为 rtol 为 1e-3，atol 为 1e-6。

jac{None, 类数组，稀疏矩阵，可调用对象}，可选

系统右侧关于 y 的雅可比矩阵，该方法需要它。雅可比矩阵的形状为 (n, n)，其元素 (i, j) 等于 d f_i / d y_j。定义雅可比矩阵有三种方法

如果为类数组或稀疏矩阵，则假定雅可比矩阵为常数。

如果为可调用对象，则假定雅可比矩阵取决于 t 和 y；它将在需要时以 jac(t, y) 的形式调用。对于 'Radau' 和 'BDF' 方法，返回值可能为稀疏矩阵。

如果为 None（默认值），则雅可比矩阵将通过有限差分进行近似。

通常建议提供雅可比矩阵，而不是依赖于有限差分近似。

jac_sparsity{None, 类数组，稀疏矩阵}，可选

定义雅可比矩阵的稀疏结构以进行有限差分近似。其形状必须为 (n, n)。如果 jac 不为 None，则忽略此参数。如果雅可比矩阵在每行中只有很少的非零元素，提供稀疏结构将大大加快计算速度 [2]。零条目表示雅可比矩阵中的对应元素始终为零。如果为 None（默认值），则假定雅可比矩阵为稠密矩阵。

vectorized布尔值，可选

是否可以以向量化方式调用 fun。默认值为 False。

如果 vectorized 为 False，则始终使用形状为 (n,) 的 y 调用 fun，其中 n = len(y0)。

如果 vectorized 为 True，则可以使用形状为 (n, k) 的 y 调用 fun，其中 k 是一个整数。在这种情况下，fun 必须表现得像 fun(t, y)[:, i] == fun(t, y[:, i])（即返回的数组的每一列都是与 y 的一列相对应的状态的时变导数）。

将 vectorized=True 设置为 True 可以通过该方法更快地进行雅可比矩阵的有限差分近似，但在某些情况下（例如 len(y0) 很小）会导致整体执行速度变慢。

参考文献

[1]

E. Hairer, G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems”, Sec. IV.8.

[2]

A. Curtis, M. J. D. Powell, and J. Reid, “On the estimation of sparse Jacobian matrices”, Journal of the Institute of Mathematics and its Applications, 13, pp. 117-120, 1974.

属性：

n整数: 方程数量。
status字符串: 求解器的当前状态：'running'、'finished' 或 'failed'。
t_bound浮点数: 边界时间。
direction浮点数: 积分方向：+1 或 -1。
t浮点数: 当前时间。
yndarray: 当前状态。
t_old浮点数: 上一次时间。如果尚未执行任何步骤，则为 None。
step_size浮点数: 最后一次成功步骤的大小。如果尚未执行任何步骤，则为 None。
nfev整数: 右侧的评估次数。
njev整数: 雅可比矩阵的评估次数。
nlu整数: LU 分解次数。

方法

`dense_output`()	计算最后一步成功的局部插值函数。
`step`()	执行一个积分步骤。