scipy.integrate.

Radau

class scipy.integrate.Radau(fun, t0, y0, t_bound, max_step=inf, rtol=0.001, atol=1e-06, jac=None, jac_sparsity=None, vectorized=False, first_step=None, **extraneous)

Radau IIA 族五阶隐式龙格-库塔法。

该实现遵循 [1]。误差通过三阶精确嵌入公式控制。满足配置条件的三次多项式用于密集输出。

参数:

fun可调用对象

系统的右侧：状态 y 在时间 t 处的导数。调用签名为 fun(t, y)，其中 t 是一个标量，y 是一个 ndarray，其 len(y) = len(y0)。fun 必须返回与 y 形状相同的数组。有关更多信息，请参阅 vectorized。

t0浮点数

初始时间。

y0类数组对象, 形状 (n,)

初始状态。

t_bound浮点数

边界时间——积分不会超过此时间。它也决定了积分的方向。

first_step浮点数或 None, 可选

初始步长。默认为 None，表示算法自行选择。

max_step浮点数, 可选

允许的最大步长。默认为 np.inf，即步长不受限制，完全由求解器决定。

rtol, atol浮点数和类数组对象, 可选

相对和绝对容差。求解器将局部误差估计值保持小于 atol + rtol * abs(y)。此处 rtol 控制相对精度（正确数字的数量），而 atol 控制绝对精度（正确小数位的数量）。为了达到所需的 rtol，将 atol 设置为小于 rtol * abs(y) 中可能出现的最小值，以便 rtol 主导允许的误差。如果 atol 大于 rtol * abs(y)，则无法保证正确数字的数量。反之，为了达到所需的 atol，将 rtol 设置为使 rtol * abs(y) 始终小于 atol。如果 y 的分量具有不同的尺度，则通过为 atol 传递形状为 (n,) 的类数组对象，为不同分量设置不同的 atol 值可能会有益。默认值为 rtol 为 1e-3，atol 为 1e-6。

jac{None, 类数组对象, 稀疏矩阵, 可调用对象}, 可选

系统右侧关于 y 的雅可比矩阵，此方法需要。雅可比矩阵的形状为 (n, n)，其元素 (i, j) 等于 d f_i / d y_j。定义雅可比矩阵有三种方式

• 如果是类数组对象或稀疏矩阵，则雅可比矩阵被认为是常数。

• 如果是可调用对象，则雅可比矩阵被认为同时依赖于 t 和 y；它将根据需要以 jac(t, y) 的形式调用。对于‘Radau’和‘BDF’方法，返回值可能是一个稀疏矩阵。

• 如果为 None（默认），雅可比矩阵将通过有限差分近似。

通常建议提供雅可比矩阵，而不是依赖有限差分近似。

jac_sparsity{None, 类数组对象, 稀疏矩阵}, 可选

定义雅可比矩阵用于有限差分近似的稀疏结构。其形状必须为 (n, n)。如果 jac 不是 None，则此参数将被忽略。如果雅可比矩阵在每行中只有少量非零元素，提供稀疏结构将大大加快计算速度 [2]。零条目表示雅可比矩阵中的相应元素始终为零。如果为 None（默认），则假定雅可比矩阵是密集的。

vectorized布尔值, 可选

是否可以向量化方式调用 fun。默认为 False。

如果 vectorized 为 False，fun 将始终以形状为 (n,) 的 y 调用，其中 n = len(y0)。

如果 vectorized 为 True，fun 可以以形状为 (n, k) 的 y 调用，其中 k 是一个整数。在这种情况下，fun 必须表现为 fun(t, y)[:, i] == fun(t, y[:, i])（即返回数组的每一列是与 y 的列对应的状态的时间导数）。

将 vectorized=True 设置为 True，此方法可以更快地进行雅可比矩阵的有限差分近似，但在某些情况下（例如 len(y0) 较小）可能会导致整体执行速度变慢。

属性:

n整型

方程数量。

status字符串

求解器当前状态：‘运行中’、‘已完成’或‘失败’。

t_bound浮点数

边界时间。

direction浮点数

积分方向：+1 或 -1。

t浮点数

当前时间。

yndarray

当前状态。

t_old浮点数

上一时间。如果尚未进行任何步骤，则为 None。

step_size浮点数

上次成功步骤的步长。如果尚未进行任何步骤，则为 None。

nfev整型

右侧求值次数。

njev整型

雅可比矩阵求值次数。

nlu整型

LU 分解次数。

方法

dense_output()	计算上次成功步骤的局部插值。
step()	执行一个积分步骤。

参考文献

[1]

E. Hairer, G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems”, Sec. IV.8.

[2]

A. Curtis, M. J. D. Powell, and J. Reid, “On the estimation of sparse Jacobian matrices”, Journal of the Institute of Mathematics and its Applications, 13, pp. 117-120, 1974.