scipy.stats.

pearsonr#

scipy.stats.pearsonr(x, y, *, alternative='two-sided', method=None, axis=0)[源代码]#

用于检验非相关的 Pearson 相关系数和 p 值。

Pearson 相关系数 [1] 用于衡量两个数据集之间的线性关系。与其他相关系数一样，它的取值范围在 -1 到 +1 之间，0 表示没有相关性。相关性为 -1 或 +1 表示存在精确的线性关系。正相关表示当 x 增加时，y 也增加。负相关表示当 x 增加时，y 减少。

此函数还执行零假设检验，即样本的基础分布是不相关的且呈正态分布。（有关输入非正态性对相关系数分布的影响的讨论，请参阅 Kowalski [3]。）p 值大致表示一个不相关的系统产生皮尔逊相关性至少与从这些数据集计算出的相关性一样极端的数据集的概率。

参数:

x类数组

输入数组。

y类数组

输入数组。

axisint 或 None，默认值

执行计算的轴。默认为 0。如果为 None，则在执行计算之前将两个数组展平。

在 1.13.0 版本中新增。

alternative{‘two-sided’, ‘greater’, ‘less’}, 可选

定义备择假设。默认为 ‘two-sided’。以下选项可用

‘two-sided’：相关性非零
‘less’：相关性为负（小于零）
‘greater’：相关性为正（大于零）

在 1.9.0 版本中新增。

methodResamplingMethod，可选

定义用于计算 p 值的方法。如果 method 是 PermutationMethod/MonteCarloMethod 的实例，则使用 scipy.stats.permutation_test/scipy.stats.monte_carlo_test，并使用提供的配置选项和其他适当设置来计算 p 值。否则，p 值的计算方式如注释中所述。

在 1.11.0 版本中新增。

返回:

resultPearsonRResult

具有以下属性的对象

statisticfloat: 皮尔逊积矩相关系数。
pvaluefloat: 与所选备择假设关联的 p 值。

该对象具有以下方法

confidence_interval(confidence_level, method): 这将计算给定置信水平的相关系数 statistic 的置信区间。置信区间以具有字段 low 和 high 的 namedtuple 返回。如果未提供 method，则使用费舍尔变换 [1] 计算置信区间。如果 method 是 BootstrapMethod 的实例，则使用 scipy.stats.bootstrap，并使用提供的配置选项和其他适当设置来计算置信区间。在某些情况下，由于退化的重采样，置信限可能为 NaN，这在非常小的样本（~6 个观测值）中很常见。

引发:

ValueError: 如果 x 和 y 的长度不至少为 2。

警告:

ConstantInputWarning: 如果输入是常量数组则引发。在这种情况下未定义相关系数，因此返回 np.nan。
NearConstantInputWarning: 如果输入“几乎”是常量，则引发。如果 norm(x - mean(x)) < 1e-13 * abs(mean(x))，则数组 x 被视为几乎是常量。在这种情况下，计算 x - mean(x) 中的数值错误可能会导致 r 的计算不准确。

另请参阅

spearmanr: 斯皮尔曼等级相关系数。
kendalltau: 肯德尔 tau，一种用于序数数据的相关性度量。

注释

相关系数的计算公式如下

\[r = \frac{\sum (x - m_x) (y - m_y)} {\sqrt{\sum (x - m_x)^2 \sum (y - m_y)^2}}\]

其中 \(m_x\) 是向量 x 的平均值，\(m_y\) 是向量 y 的平均值。

在假设 x 和 y 是从独立的正态分布中抽取的（因此总体相关系数为 0）的情况下，样本相关系数 r 的概率密度函数为 ([1], [2])

\[f(r) = \frac{{(1-r^2)}^{n/2-2}}{\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{n}{2}-1)}\]

其中 n 是样本数，B 是 beta 函数。这有时被称为 r 的精确分布。当 method 参数保留其默认值 (None) 时，pearsonr 中使用此分布来计算 p 值。该分布是区间 [-1, 1] 上的 beta 分布，具有相等的形状参数 a = b = n/2 - 1。就 SciPy 的 beta 分布实现而言，r 的分布为

dist = scipy.stats.beta(n/2 - 1, n/2 - 1, loc=-1, scale=2)

pearsonr 返回的默认 p 值是双尾 p 值。对于相关系数为 r 的给定样本，p 值是从零相关总体中抽取的随机样本 x’ 和 y’ 的 abs(r’) 大于或等于 abs(r) 的概率。就上面显示的 dist 对象而言，给定 r 和长度 n 的 p 值可以计算为

p = 2*dist.cdf(-abs(r))

当 n 为 2 时，上面的连续分布未定义。可以将 beta 分布的极限解释为当形状参数 a 和 b 接近 a = b = 0 时，r = 1 和 r = -1 处具有相等概率质量的离散分布。更直接地说，可以观察到，给定数据 x = [x1, x2] 和 y = [y1, y2]，并假设 x1 != x2 和 y1 != y2，则 r 的唯一可能值为 1 和 -1。由于长度为 2 的任何样本 x’ 和 y’ 的 abs(r’) 都将为 1，因此长度为 2 的样本的双尾 p 值始终为 1。

为了向后兼容，返回的对象也表现为长度为 2 的元组，其中包含统计量和 p 值。

参考文献

[1] (1,2,3)

“Pearson correlation coefficient”, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_correlation_coefficient

[2]

Student, “Probable error of a correlation coefficient”, Biometrika, Volume 6, Issue 2-3, 1 September 1908, pp. 302-310.

[3]

C. J. Kowalski, “On the Effects of Non-Normality on the Distribution of the Sample Product-Moment Correlation Coefficient” Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), Vol. 21, No. 1 (1972), pp. 1-12.

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy import stats
>>> x, y = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [10, 9, 2.5, 6, 4, 3, 2]
>>> res = stats.pearsonr(x, y)
>>> res
PearsonRResult(statistic=-0.828503883588428, pvalue=0.021280260007523286)

要执行测试的精确排列版本

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> method = stats.PermutationMethod(n_resamples=np.inf, random_state=rng)
>>> stats.pearsonr(x, y, method=method)
PearsonRResult(statistic=-0.828503883588428, pvalue=0.028174603174603175)

要在数据是从均匀分布中抽取的零假设下执行测试

>>> method = stats.MonteCarloMethod(rvs=(rng.uniform, rng.uniform))
>>> stats.pearsonr(x, y, method=method)
PearsonRResult(statistic=-0.828503883588428, pvalue=0.0188)

要生成渐近 90% 置信区间

>>> res.confidence_interval(confidence_level=0.9)
ConfidenceInterval(low=-0.9644331982722841, high=-0.3460237473272273)

对于自助法置信区间

>>> method = stats.BootstrapMethod(method='BCa', rng=rng)
>>> res.confidence_interval(confidence_level=0.9, method=method)
ConfidenceInterval(low=-0.9983163756488651, high=-0.22771001702132443)  # may vary

如果提供了 N 维数组，则会根据与大多数 scipy.stats 函数相同的约定，在一次调用中执行多次测试

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal((8, 15))
>>> y = rng.standard_normal((8, 15))
>>> stats.pearsonr(x, y, axis=0).statistic.shape  # between corresponding columns
(15,)
>>> stats.pearsonr(x, y, axis=1).statistic.shape  # between corresponding rows
(8,)

要执行数组切片之间的所有成对比较，请使用标准 NumPy 广播技术。例如，要计算所有行对之间的相关性

>>> stats.pearsonr(x[:, np.newaxis, :], y, axis=-1).statistic.shape
(8, 8)

如果 y = a + b*x + e，其中 a、b 是常数，并且 e 是一个随机误差项，假设独立于 x，则 x 和 y 之间存在线性相关性。为简单起见，假设 x 是标准正态分布，a=0，b=1，并让 e 服从均值为零且标准差为 s>0 的正态分布。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> s = 0.5
>>> x = stats.norm.rvs(size=500, random_state=rng)
>>> e = stats.norm.rvs(scale=s, size=500, random_state=rng)
>>> y = x + e
>>> stats.pearsonr(x, y).statistic
0.9001942438244763

这应该接近于以下给出的精确值

>>> 1/np.sqrt(1 + s**2)
0.8944271909999159

对于 s=0.5，我们观察到较高的相关性。一般来说，噪声的较大方差会降低相关性，而当误差的方差接近于零时，相关性接近于 1。

重要的是要记住，除非 (x, y) 是联合正态分布，否则不相关并不意味着独立。即使存在非常简单的依赖结构，相关性也可能为零：如果 X 服从标准正态分布，令 y = abs(x)。请注意，x 和 y 之间的相关性为零。实际上，由于 x 的期望值为零，cov(x, y) = E[x*y]。根据定义，这等于 E[x*abs(x)]，由于对称性，该值为零。以下代码行说明了这一观察结果

>>> y = np.abs(x)
>>> stats.pearsonr(x, y)
PearsonRResult(statistic=-0.05444919272687482, pvalue=0.22422294836207743)

非零相关系数可能会产生误导。例如，如果 X 服从标准正态分布，定义 y = x 如果 x < 0，否则 y = 0。一个简单的计算表明，corr(x, y) = sqrt(2/Pi) = 0.797…，这意味着高度相关

>>> y = np.where(x < 0, x, 0)
>>> stats.pearsonr(x, y)
PearsonRResult(statistic=0.861985781588, pvalue=4.813432002751103e-149)

这是不直观的，因为如果 x 大于零，则 x 和 y 之间没有依赖关系，如果我们在 x 和 y 上采样，则大约一半的情况下会发生这种情况。