svds#
- scipy.sparse.linalg.svds(A, k=6, ncv=None, tol=0, which='LM', v0=None, maxiter=None, return_singular_vectors=True, solver='arpack', random_state=None, options=None)[source]#
稀疏矩阵的部分奇异值分解。
计算稀疏矩阵 A 的最大或最小 k 个奇异值及其相应的奇异向量。奇异值的返回顺序不保证。
在下面的描述中，令
M, N = A.shape。- 参数：:
- Andarray, 稀疏矩阵或 LinearOperator
要分解的浮点数值类型的矩阵。
- kint，默认值：6
要计算的奇异值和奇异向量的数量。必须满足
1 <= k <= kmax，其中kmax=min(M, N)对于solver='propack'，而kmax=min(M, N) - 1对于其他情况。- ncvint，可选
当
solver='arpack'时，这是生成的 Lanczos 向量的数量。有关详细信息，请参见 ‘arpack’。当solver='lobpcg'或solver='propack'时，此参数被忽略。- tolfloat，可选
奇异值的容差。零（默认）表示机器精度。
- which{‘LM’，‘SM’}
要查找的哪些 k 个奇异值：最大幅度（‘LM’）或最小幅度（‘SM’）奇异值。
- v0ndarray，可选
- maxiterint，可选
- return_singular_vectors{True, False, “u”, “vh”}
始终计算并返回奇异值；此参数控制奇异向量的计算和返回。
True：返回奇异向量。False：不返回奇异向量。"u"：如果M <= N，仅计算左奇异向量，并为右奇异向量返回None。否则，计算所有奇异向量。"vh"：如果M > N，仅计算右奇异向量，并为左奇异向量返回None。否则，计算所有奇异向量。
如果
solver='propack'，无论矩阵形状如何，都会尊重此选项。- solver{‘arpack’，‘propack’，‘lobpcg’}，可选
- random_state{None, int,
numpy.random.Generator, 用于生成重采样的伪随机数生成器状态。
如果 random_state 为
None（或 np.random），则使用numpy.random.RandomState单例。如果 random_state 是一个整数，则使用一个新的RandomState实例，并使用 random_state 进行播种。如果 random_state 已经是Generator或RandomState实例，则使用该实例。- optionsdict，可选
一个包含特定于求解器的选项的字典。目前不支持特定于求解器的选项；此参数为将来使用保留。
- 返回值：:
- undarray，shape=(M, k)
具有左奇异向量作为列的酉矩阵。
- sndarray，shape=(k,)
奇异值。
- vhndarray，shape=(k, N)
具有右奇异向量作为行的酉矩阵。
备注
这是一个使用 ARPACK 或 LOBPCG 作为矩阵
A.conj().T @ A或A @ A.conj().T上的特征值求解器的简单实现，取决于哪个尺寸更小，然后使用瑞利-里兹方法作为后处理；参见瑞利-里兹方法中的使用正规矩阵，(2022 年 11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/4zms。或者，可以调用 PROPACK 求解器。
输入矩阵 A 的数值类型选择可能受到限制。只有
solver="lobpcg"支持所有浮点类型，包括实数：‘np.float32’，‘np.float64’，‘np.longdouble’ 和复数：‘np.complex64’，‘np.complex128’，‘np.clongdouble’。solver="arpack"仅支持 ‘np.float32’，‘np.float64’ 和 ‘np.complex128’。示例
从奇异值和向量构造矩阵 A。
>>> import numpy as np >>> from scipy import sparse, linalg, stats >>> from scipy.sparse.linalg import svds, aslinearoperator, LinearOperator
从奇异值和向量构造一个密集矩阵 A。
>>> rng = np.random.default_rng() >>> orthogonal = stats.ortho_group.rvs(10, random_state=rng) >>> s = [1e-3, 1, 2, 3, 4] # non-zero singular values >>> u = orthogonal[:, :5] # left singular vectors >>> vT = orthogonal[:, 5:].T # right singular vectors >>> A = u @ np.diag(s) @ vT
仅使用四个奇异值/向量，SVD 就可以近似原始矩阵。
>>> u4, s4, vT4 = svds(A, k=4) >>> A4 = u4 @ np.diag(s4) @ vT4 >>> np.allclose(A4, A, atol=1e-3) True
使用所有五个非零奇异值/向量，我们可以更准确地再现原始矩阵。
>>> u5, s5, vT5 = svds(A, k=5) >>> A5 = u5 @ np.diag(s5) @ vT5 >>> np.allclose(A5, A) True
奇异值与预期的奇异值匹配。
>>> np.allclose(s5, s) True
由于此示例中奇异值彼此之间并不接近，因此每个奇异向量都如预期的那样匹配，直到符号不同。
>>> (np.allclose(np.abs(u5), np.abs(u)) and ... np.allclose(np.abs(vT5), np.abs(vT))) True
奇异向量也正交。
>>> (np.allclose(u5.T @ u5, np.eye(5)) and ... np.allclose(vT5 @ vT5.T, np.eye(5))) True
如果存在（几乎）多个奇异值，则相应的单个奇异向量可能不稳定，但包含所有这些奇异向量的整个不变子空间将被准确地计算出来，这可以通过使用 ‘subspace_angles’ 来衡量子空间之间的角度。
>>> rng = np.random.default_rng() >>> s = [1, 1 + 1e-6] # non-zero singular values >>> u, _ = np.linalg.qr(rng.standard_normal((99, 2))) >>> v, _ = np.linalg.qr(rng.standard_normal((99, 2))) >>> vT = v.T >>> A = u @ np.diag(s) @ vT >>> A = A.astype(np.float32) >>> u2, s2, vT2 = svds(A, k=2, random_state=rng) >>> np.allclose(s2, s) True
单个精确奇异向量和计算出的奇异向量之间的角度可能并不那么小。要检查，请使用
>>> (linalg.subspace_angles(u2[:, :1], u[:, :1]) + ... linalg.subspace_angles(u2[:, 1:], u[:, 1:])) array([0.06562513]) # may vary >>> (linalg.subspace_angles(vT2[:1, :].T, vT[:1, :].T) + ... linalg.subspace_angles(vT2[1:, :].T, vT[1:, :].T)) array([0.06562507]) # may vary
与这些向量所跨越的二维不变子空间之间的角度形成对比，这些角度对于右奇异向量来说很小
>>> linalg.subspace_angles(u2, u).sum() < 1e-6 True
以及左奇异向量。
>>> linalg.subspace_angles(vT2.T, vT.T).sum() < 1e-6 True
下一个示例遵循 ‘sklearn.decomposition.TruncatedSVD’ 的示例。
>>> rng = np.random.RandomState(0) >>> X_dense = rng.random(size=(100, 100)) >>> X_dense[:, 2 * np.arange(50)] = 0 >>> X = sparse.csr_matrix(X_dense) >>> _, singular_values, _ = svds(X, k=5, random_state=rng) >>> print(singular_values) [ 4.3293... 4.4491... 4.5420... 4.5987... 35.2410...]
可以调用该函数，而无需显式构造输入矩阵的转置。
>>> rng = np.random.default_rng() >>> G = sparse.rand(8, 9, density=0.5, random_state=rng) >>> Glo = aslinearoperator(G) >>> _, singular_values_svds, _ = svds(Glo, k=5, random_state=rng) >>> _, singular_values_svd, _ = linalg.svd(G.toarray()) >>> np.allclose(singular_values_svds, singular_values_svd[-4::-1]) True
最节省内存的场景是既不显式构造原始矩阵，也不显式构造其转置。我们的示例计算使用列方式使用的 numpy 函数 ‘np.diff’ 构造的 ‘LinearOperator’ 的最小奇异值和向量，以与 ‘LinearOperator’ 在列上操作保持一致。
>>> diff0 = lambda a: np.diff(a, axis=0)
让我们创建 ‘diff0’ 的矩阵，仅用于验证。
>>> n = 5 # The dimension of the space. >>> M_from_diff0 = diff0(np.eye(n)) >>> print(M_from_diff0.astype(int)) [[-1 1 0 0 0] [ 0 -1 1 0 0] [ 0 0 -1 1 0] [ 0 0 0 -1 1]]
矩阵 ‘M_from_diff0’ 是双对角的，也可以通过以下方式直接创建
>>> M = - np.eye(n - 1, n, dtype=int) >>> np.fill_diagonal(M[:,1:], 1) >>> np.allclose(M, M_from_diff0) True
其转置
>>> print(M.T) [[-1 0 0 0] [ 1 -1 0 0] [ 0 1 -1 0] [ 0 0 1 -1] [ 0 0 0 1]]
可以看作是线性图的关联矩阵；参见关联矩阵，(2022 年 11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YXU，具有 5 个顶点和 4 条边的线性图。因此，5x5 正规矩阵
M.T @ M是>>> print(M.T @ M) [[ 1 -1 0 0 0] [-1 2 -1 0 0] [ 0 -1 2 -1 0] [ 0 0 -1 2 -1] [ 0 0 0 -1 1]]
图拉普拉斯矩阵，而实际使用在 ‘svds’ 中的较小尺寸的 4x4 正规矩阵
M @ M.T>>> print(M @ M.T) [[ 2 -1 0 0] [-1 2 -1 0] [ 0 -1 2 -1] [ 0 0 -1 2]]
是所谓的基于边的拉普拉斯矩阵；参见通过关联矩阵的对称拉普拉斯矩阵，在拉普拉斯矩阵中，(2022 年 11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YXW。
“LinearOperator” 设置需要矩阵转置
M.T的乘法选项 “rmatvec” 和 “rmatmat”，但我们想要实现无矩阵操作以节省内存，因此知道M.T的形式后，我们手动构建了以下函数，以便在rmatmat=diff0t中使用。>>> def diff0t(a): ... if a.ndim == 1: ... a = a[:,np.newaxis] # Turn 1D into 2D array ... d = np.zeros((a.shape[0] + 1, a.shape[1]), dtype=a.dtype) ... d[0, :] = - a[0, :] ... d[1:-1, :] = a[0:-1, :] - a[1:, :] ... d[-1, :] = a[-1, :] ... return d
我们检查矩阵转置函数 “diff0t” 是否有效。
>>> np.allclose(M.T, diff0t(np.eye(n-1))) True
现在我们设置名为 “diff0_func_aslo” 的无矩阵 “LinearOperator”，并为了验证，还设置了基于矩阵的 “diff0_matrix_aslo”。
>>> def diff0_func_aslo_def(n): ... return LinearOperator(matvec=diff0, ... matmat=diff0, ... rmatvec=diff0t, ... rmatmat=diff0t, ... shape=(n - 1, n)) >>> diff0_func_aslo = diff0_func_aslo_def(n) >>> diff0_matrix_aslo = aslinearoperator(M_from_diff0)
并验证矩阵及其转置在 “LinearOperator” 中是否有效。
>>> np.allclose(diff0_func_aslo(np.eye(n)), ... diff0_matrix_aslo(np.eye(n))) True >>> np.allclose(diff0_func_aslo.T(np.eye(n-1)), ... diff0_matrix_aslo.T(np.eye(n-1))) True
验证 “LinearOperator” 设置后，我们运行求解器。
>>> n = 100 >>> diff0_func_aslo = diff0_func_aslo_def(n) >>> u, s, vT = svds(diff0_func_aslo, k=3, which='SM')
奇异值平方和奇异向量是明确已知的；参见纯狄利克雷边界条件，在二阶导数的特征值和特征向量中，(2022 年 11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YX6，由于 “diff” 对应于一阶导数，并且其较小的 n-1 x n-1 正常矩阵
M @ M.T代表具有狄利克雷边界条件的离散二阶导数。我们使用这些解析表达式进行验证。>>> se = 2. * np.sin(np.pi * np.arange(1, 4) / (2. * n)) >>> ue = np.sqrt(2 / n) * np.sin(np.pi * np.outer(np.arange(1, n), ... np.arange(1, 4)) / n) >>> np.allclose(s, se, atol=1e-3) True >>> print(np.allclose(np.abs(u), np.abs(ue), atol=1e-6)) True