散乱数据插值 (griddata)

假设您有多维数据，例如，对于一个基础函数 \(f(x, y)\)，您只知道点 (x[i], y[i]) 处的值，这些点没有形成规则的网格。

假设我们想在 [0, 1]x[0, 1] 的网格上插值二维函数

>>> import numpy as np
>>> def func(x, y):
...     return x*(1-x)*np.cos(4*np.pi*x) * np.sin(4*np.pi*y**2)**2

在 [0, 1]x[0, 1] 的网格上

>>> grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, 100),
...                              np.linspace(0, 1, 200), indexing='ij')

但我们只知道它在 1000 个数据点的值

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> points = rng.random((1000, 2))
>>> values = func(points[:,0], points[:,1])

这可以使用 griddata 来完成 – 下面，我们尝试所有的插值方法

>>> from scipy.interpolate import griddata
>>> grid_z0 = griddata(points, values, (grid_x, grid_y), method='nearest')
>>> grid_z1 = griddata(points, values, (grid_x, grid_y), method='linear')
>>> grid_z2 = griddata(points, values, (grid_x, grid_y), method='cubic')

可以看出，所有方法都在某种程度上再现了精确的结果，但对于这个平滑的函数，分段三次插值给出了最好的结果（黑点显示正在插值的数据）

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.subplot(221)
>>> plt.imshow(func(grid_x, grid_y).T, extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower')
>>> plt.plot(points[:, 0], points[:, 1], 'k.', ms=1)   # data
>>> plt.title('Original')
>>> plt.subplot(222)
>>> plt.imshow(grid_z0.T, extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower')
>>> plt.title('Nearest')
>>> plt.subplot(223)
>>> plt.imshow(grid_z1.T, extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower')
>>> plt.title('Linear')
>>> plt.subplot(224)
>>> plt.imshow(grid_z2.T, extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower')
>>> plt.title('Cubic')
>>> plt.gcf().set_size_inches(6, 6)
>>> plt.show()

对于每种插值方法，此函数委托给相应的类对象 —— 这些类也可以直接使用 —— NearestNDInterpolator，LinearNDInterpolator 和 CloughTocher2DInterpolator 用于二维分段三次插值。

所有这些插值方法都依赖于使用 scipy.spatial 中包装的 QHull 库对数据进行三角剖分。

注意

griddata 基于三角剖分，因此适用于非结构化的散乱数据。 如果您的数据位于完整的网格上，则 griddata 函数（尽管它的名称如此）不是合适的工具。 请改用 RegularGridInterpolator。

注意

如果输入数据使得输入维度具有不相称的单位并且相差多个数量级，则插值器可能会出现数值伪影。考虑在插值之前重新缩放数据，或者使用 griddata 的 rescale=True 关键字参数。

使用径向基函数进行平滑/插值

径向基函数可用于平滑/插值 N 维中的散乱数据，但应谨慎用于观察数据范围之外的推断。

1-D 示例

此示例比较了来自 scipy.interpolate 模块的 RBFInterpolator 和 UnivariateSpline 类的用法。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import RBFInterpolator, InterpolatedUnivariateSpline
>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> # setup data
>>> x = np.linspace(0, 10, 9).reshape(-1, 1)
>>> y = np.sin(x)
>>> xi = np.linspace(0, 10, 101).reshape(-1, 1)

>>> # use fitpack2 method
>>> ius = InterpolatedUnivariateSpline(x, y)
>>> yi = ius(xi)

>>> fix, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1)
>>> ax1.plot(x, y, 'bo')
>>> ax1.plot(xi, yi, 'g')
>>> ax1.plot(xi, np.sin(xi), 'r')
>>> ax1.set_title('Interpolation using univariate spline')

>>> # use RBF method
>>> rbf = RBFInterpolator(x, y)
>>> fi = rbf(xi)

>>> ax2.plot(x, y, 'bo')
>>> ax2.plot(xi, fi, 'g')
>>> ax2.plot(xi, np.sin(xi), 'r')
>>> ax2.set_title('Interpolation using RBF - multiquadrics')
>>> plt.tight_layout()
>>> plt.show()

2-D 示例

此示例演示如何插值散乱的 2-D 数据

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import RBFInterpolator
>>> import matplotlib.pyplot as plt

>>> # 2-d tests - setup scattered data
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> xy = rng.random((100, 2))*4.0-2.0
>>> z = xy[:, 0]*np.exp(-xy[:, 0]**2-xy[:, 1]**2)
>>> edges = np.linspace(-2.0, 2.0, 101)
>>> centers = edges[:-1] + np.diff(edges[:2])[0] / 2.
>>> x_i, y_i = np.meshgrid(centers, centers)
>>> x_i = x_i.reshape(-1, 1)
>>> y_i = y_i.reshape(-1, 1)
>>> xy_i = np.concatenate([x_i, y_i], axis=1)

>>> # use RBF
>>> rbf = RBFInterpolator(xy, z, epsilon=2)
>>> z_i = rbf(xy_i)

>>> # plot the result
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> X_edges, Y_edges = np.meshgrid(edges, edges)
>>> lims = dict(cmap='RdBu_r', vmin=-0.4, vmax=0.4)
>>> mapping = ax.pcolormesh(
...     X_edges, Y_edges, z_i.reshape(100, 100),
...     shading='flat', **lims
... )
>>> ax.scatter(xy[:, 0], xy[:, 1], 100, z, edgecolor='w', lw=0.1, **lims)
>>> ax.set(
...     title='RBF interpolation - multiquadrics',
...     xlim=(-2, 2),
...     ylim=(-2, 2),
... )
>>> fig.colorbar(mapping)