scipy.sparse.linalg.

eigsh

scipy.sparse.linalg.eigsh(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, mode='normal')

查找实对称方阵或复共轭埃尔米特矩阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

求解 A @ x[i] = w[i] * x[i]，即 w[i] 特征值及其对应的特征向量 x[i] 的标准特征值问题。

如果指定了 M，则求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，即 w[i] 特征值及其对应的特征向量 x[i] 的广义特征值问题。

请注意，当 A 是复共轭埃尔米特矩阵时，没有专门的例程。 在这种情况下，eigsh() 将调用 eigs() 并返回由此获得的特征值的实部。

参数:

Andarray、稀疏矩阵或 LinearOperator

表示运算 A @ x 的方阵运算符，其中 A 是实对称或复共轭埃尔米特矩阵。对于屈曲模式（见下文），A 还必须是正定的。

kint，可选

所需的特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N。不可能计算矩阵的所有特征向量。

返回:

warray

k 个特征值的数组。

varray

表示 k 个特征向量的数组。列 v[:, i] 是与特征值 w[i] 对应的特征向量。

其他参数:

M一个 N x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性运算符，表示

广义特征值问题的运算 M @ x

A @ x = w * M @ x。

如果 A 是实数，则 M 必须表示实对称矩阵；如果 A 是复数，则必须表示复共轭埃尔米特矩阵。 为了获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。此外

如果 sigma 为 None，则 M 是对称正定矩阵。

如果指定了 sigma，则 M 是对称半正定矩阵。

在屈曲模式下，M 是对称不定矩阵。

如果 sigma 为 None，则 eigsh 需要一个运算符来计算线性方程 M @ x = b 的解。这在内部通过显式矩阵 M 的（稀疏）LU 分解来完成，或通过通用线性运算符的迭代求解器来完成。 或者，用户可以提供矩阵或运算符 Minv，它给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b。

sigma实数

使用移位-逆模式查找接近 sigma 的特征值。 这需要一个运算符来计算线性系统 [A - sigma * M] x = b 的解，如果未指定，则 M 为单位矩阵。 这在内部通过显式矩阵 A 和 M 的（稀疏）LU 分解来计算，如果 A 或 M 是通用线性运算符，则通过迭代求解器计算。 或者，用户可以提供矩阵或运算符 OPinv，它给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。 请注意，当指定 sigma 时，关键字“which”是指移位的特征值 w'[i]，其中

如果 mode == ‘normal’，则 w'[i] = 1 / (w[i] - sigma)。

如果 mode == ‘cayley’，则 w'[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)。

如果 mode == ‘buckling’，则 w'[i] = w[i] / (w[i] - sigma)。

（详见下文“mode”中的讨论）

v0ndarray，可选

迭代的起始向量。默认值：随机

ncvint，可选

生成的 Lanczos 向量的数量，ncv 必须大于 k 且小于 n； 建议 ncv > 2*k。默认值：min(n, max(2*k + 1, 20))

whichstr [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LA’ | ‘SA’ | ‘BE’]

如果 A 是复共轭埃尔米特矩阵，则 “BE” 无效。要查找的 k 个特征向量和特征值

“LM”：最大（幅度）特征值。

“SM”：最小（幅度）特征值。

“LA”：最大（代数）特征值。

“SA”：最小（代数）特征值。

“BE”：来自频谱每一端的一半 (k/2)。

当 k 为奇数时，从高端返回多一个 (k/2+1)。 当 sigma != None 时，“which” 是指移位的特征值 w'[i]（请参阅上面的“sigma”中的讨论）。 ARPACK 通常更擅长查找较大的值，而不是较小的值。 如果需要较小的特征值，请考虑使用移位-逆模式以获得更好的性能。

maxiterint，可选

允许的最大 Arnoldi 更新迭代次数。默认值：n*10

tolfloat

特征值的相对精度（停止标准）。默认值 0 表示机器精度。

MinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或 LinearOperator

请参阅上面的 M 中的注释。

OPinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或 LinearOperator

请参阅上面的 sigma 中的注释。

return_eigenvectorsbool

除了特征值之外，是否返回特征向量（True）。此值决定了特征值的排序方式。排序方式也取决于 which 变量。

对于 which = ‘LM’ 或 ‘SA’

如果 return_eigenvectors 为 True，则特征值按代数值排序。

如果 return_eigenvectors 为 False，则特征值按绝对值排序。

对于 which = ‘BE’ 或 ‘LA’

特征值始终按代数值排序。

对于 which = ‘SM’

如果 return_eigenvectors 为 True，则特征值按代数值排序。

如果 return_eigenvectors 为 False，则特征值按绝对值递减排序。

mode字符串 [‘normal’ | ‘buckling’ | ‘cayley’]

指定用于移位反演模式的策略。此参数仅适用于实值 A 且 sigma != None 的情况。对于移位反演模式，ARPACK 内部求解特征值问题 OP @ x'[i] = w'[i] * B @ x'[i] 并将得到的 Ritz 向量 x’[i] 和 Ritz 值 w’[i] 转换为问题 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i] 的所需特征向量和特征值。模式如下：

‘normal’

OP = [A - sigma * M]^-1 @ M, B = M, w’[i] = 1 / (w[i] - sigma)

‘buckling’

OP = [A - sigma * M]^-1 @ A, B = A, w’[i] = w[i] / (w[i] - sigma)

‘cayley’

OP = [A - sigma * M]^-1 @ [A + sigma * M], B = M, w’[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)

模式的选择将影响关键字 ‘which’ 选择哪些特征值，也可能影响收敛的稳定性（参见 [2] 中的讨论）。

引发:

ArpackNoConvergence

当未获得请求的收敛时。

当前已收敛的特征值和特征向量可以在异常对象的 eigenvalues 和 eigenvectors 属性中找到。

另请参阅

eigs

用于一般（非对称）矩阵 A 的特征值和特征向量

svds

用于矩阵 A 的奇异值分解

说明

此函数是 ARPACK [1] SSEUPD 和 DSEUPD 函数的包装器，它们使用隐式重启 Lanczos 方法来查找特征值和特征向量 [2]。

参考文献

[1]

ARPACK 软件, opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, and C. Yang, ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods. SIAM, Philadelphia, PA, 1998.

示例

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>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigsh
>>> identity = np.eye(13)
>>> eigenvalues, eigenvectors = eigsh(identity, k=6)
>>> eigenvalues
array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])
>>> eigenvectors.shape
(13, 6)

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