scipy.sparse.linalg.

eigsh#

scipy.sparse.linalg.eigsh(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, mode='normal')[source]#

查找实对称方阵或复厄米特矩阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

求解 A @ x[i] = w[i] * x[i]，即标准特征值问题，其中 w[i] 为特征值，x[i] 为对应的特征向量。

如果指定了 M，则求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，即广义特征值问题，其中 w[i] 为特征值，x[i] 为对应的特征向量。

请注意，当 A 为复厄米特矩阵时，没有专门的例程。在这种情况下，eigsh() 将调用 eigs() 并返回由此获得的特征值的实部。

参数:

Andarray、稀疏矩阵或线性算子: 一个平方算子，表示操作 A @ x，其中 A 为实对称或复厄米特矩阵。对于屈曲模式（见下文），A 必须另外为正定矩阵。
kint，可选: 所需的特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N。无法计算矩阵的所有特征向量。

返回值:

warray: k 个特征值的数组。
varray: 表示 k 个特征向量的数组。列 v[:, i] 是与特征值 w[i] 相对应的特征向量。

其他参数:

M一个 N x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子，表示

操作 M @ x 用于广义特征值问题

A @ x = w * M @ x。

如果 A 为实数，则 M 必须表示实对称矩阵，如果 A 为复数，则 M 必须表示复厄米特矩阵。为了获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。另外

如果 sigma 为 None，则 M 为对称正定矩阵。

如果指定了 sigma，则 M 为对称半正定矩阵。

在屈曲模式下，M 为对称不定矩阵。

如果 sigma 为 None，则 eigsh 需要一个算子来计算线性方程 M @ x = b 的解。这在内部通过对显式矩阵 M 进行（稀疏）LU 分解，或通过对一般线性算子进行迭代求解来实现。或者，用户可以提供矩阵或算子 Minv，它给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b。

sigmareal

使用移位反转模式查找 sigma 附近的特征值。这需要一个算子来计算线性系统 [A - sigma * M] x = b 的解，其中 M 如果未指定则为单位矩阵。这在内部通过对显式矩阵 A & M 进行（稀疏）LU 分解，或通过迭代求解（如果 A 或 M 为一般线性算子）来实现。或者，用户可以提供矩阵或算子 OPinv，它给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。请注意，当指定 sigma 时，关键字 'which' 指的是移位特征值 w'[i]，其中

如果 mode == 'normal'，则 w'[i] = 1 / (w[i] - sigma)。

如果 mode == 'cayley'，则 w'[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)。

如果 mode == 'buckling'，则 w'[i] = w[i] / (w[i] - sigma)。

（见下文 'mode' 中的进一步讨论）

v0ndarray，可选

迭代的起始向量。默认：随机

ncvint，可选

生成的 Lanczos 向量的数量 ncv 必须大于 k 且小于 n；建议 ncv > 2*k。默认：min(n, max(2*k + 1, 20))

whichstr [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LA’ | ‘SA’ | ‘BE’]

如果 A 为复厄米特矩阵，则 'BE' 无效。要查找哪些 k 个特征向量和特征值

‘LM’：最大（按幅度）特征值。

‘SM’：最小（按幅度）特征值。

‘LA’：最大（代数）特征值。

‘SA’：最小（代数）特征值。

‘BE’：从频谱的两端各取一半 (k/2)。

当 k 为奇数时，从高端返回一个 (k/2+1)。当 sigma != None 时，'which' 指的是移位特征值 w'[i]（见上文 'sigma' 中的讨论）。ARPACK 通常更善于查找大值而不是小值。如果需要小特征值，请考虑使用移位反转模式以获得更好的性能。

maxiterint，可选

允许的最大 Arnoldi 更新迭代次数。默认：n*10

tolfloat

特征值的相对精度（停止标准）。默认值为 0 表示机器精度。

MinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子

见上文 M 中的说明。

OPinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子

见上文 sigma 中的说明。

return_eigenvectorsbool

除了特征值外，还返回特征向量 (True)。此值决定特征值排序的顺序。排序顺序还取决于 which 变量。

对于 which = 'LM' 或 'SA'
如果 return_eigenvectors 为 True，则按代数值对特征值进行排序。

如果 return_eigenvectors 为 False，则按绝对值对特征值进行排序。

对于 which = 'BE' 或 'LA'
特征值始终按代数值排序。

对于 which = 'SM'
如果 return_eigenvectors 为 True，则按代数值对特征值进行排序。

如果 return_eigenvectors 为 False，则按绝对值降序对特征值进行排序。

modestring [‘normal’ | ‘buckling’ | ‘cayley’]

指定用于移位反转模式的策略。此参数仅适用于实数 A 和 sigma != None。对于移位反转模式，ARPACK 在内部求解特征值问题 OP @ x'[i] = w'[i] * B @ x'[i]，并将得到的 Ritz 向量 x'[i] 和 Ritz 值 w'[i] 转换为问题 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i] 的所需特征向量和特征值。模式如下

‘normal’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ M, B = M, w’[i] = 1 / (w[i] - sigma)

‘buckling’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ A, B = A, w’[i] = w[i] / (w[i] - sigma)

‘cayley’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ [A + sigma * M], B = M, w’[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)

模式的选择会影响关键字“which”选择的特征值，也会影响收敛的稳定性（有关讨论，请参见[2]）。

引发:

ArpackNoConvergence

当未获得所需的收敛性时。

当前收敛的特征值和特征向量可以在异常对象的 eigenvalues 和 eigenvectors 属性中找到。

另请参阅

eigs: 一般（非对称）矩阵 A 的特征值和特征向量
svds: 矩阵 A 的奇异值分解

笔记

此函数是 ARPACK [1] SSEUPD 和 DSEUPD 函数的包装器，它们使用隐式重启 Lanczos 方法来查找特征值和特征向量 [2]。

参考文献

[1]

ARPACK 软件，opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq、D. C. Sorensen 和 C. Yang，ARPACK 用户指南：通过隐式重启 Arnoldi 方法求解大规模特征值问题。SIAM，费城，PA，1998 年。

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigsh
>>> identity = np.eye(13)
>>> eigenvalues, eigenvectors = eigsh(identity, k=6)
>>> eigenvalues
array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])
>>> eigenvectors.shape
(13, 6)