eigsh#
- scipy.sparse.linalg.eigsh(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, mode='normal')[源代码]#
查找实对称方阵或复厄米特矩阵 A 的 k 个特征值和特征向量。
求解
A @ x[i] = w[i] * x[i]，即 w[i] 特征值及其对应特征向量 x[i] 的标准特征值问题。如果指定了 M，则求解
A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，即 w[i] 特征值及其对应特征向量 x[i] 的广义特征值问题。请注意，当 A 是复厄米特矩阵时，没有专门的例程。在这种情况下，
eigsh()将调用eigs()并返回由此获得的特征值的实部。- 参数:
- Andarray、稀疏矩阵或线性算子
一个方阵算子，表示操作
A @ x，其中A是实对称或复厄米特矩阵。对于屈曲模式（见下文），A还必须是正定矩阵。- kint，可选
所需特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N。无法计算矩阵的所有特征向量。
- 返回:
- w数组
k 个特征值数组。
- v数组
一个表示 k 个特征向量的数组。列
v[:, i]是与特征值w[i]对应的特征向量。
- 其他参数:
- M一个 N x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子，表示
广义特征值问题中的操作
M @ xA @ x = w * M @ x。
如果 A 是实数，M 必须表示一个实对称矩阵；如果 A 是复数，M 必须表示一个复厄米特矩阵。为获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 相同。此外
如果 sigma 为 None，M 是对称正定矩阵。
如果指定了 sigma，M 是对称半正定矩阵。
在屈曲模式下，M 是对称不定矩阵。
如果 sigma 为 None，eigsh 需要一个算子来计算线性方程
M @ x = b的解。这在内部通过对显式矩阵 M 进行（稀疏）LU 分解，或通过对通用线性算子进行迭代求解器来完成。另外，用户可以提供矩阵或算子 Minv，其给出x = Minv @ b = M^-1 @ b。- sigma实数
使用移位反演模式查找接近 sigma 的特征值。这需要一个算子来计算线性系统
[A - sigma * M] x = b的解，如果未指定，M 是单位矩阵。这在内部通过对显式矩阵 A 和 M 进行（稀疏）LU 分解，或如果 A 或 M 是通用线性算子则通过迭代求解器来计算。另外，用户可以提供矩阵或算子 OPinv，其给出x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。无论选择何种模式（normal、cayley 或 buckling），OPinv 都应始终提供为OPinv = [A - sigma * M]^-1。请注意，当指定 sigma 时，关键字 ‘which’ 指的是移位的特征值
w'[i]，其中如果
mode == 'normal':w'[i] = 1 / (w[i] - sigma)。如果
mode == 'cayley':w'[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)。如果
mode == 'buckling':w'[i] = w[i] / (w[i] - sigma)。（详见下文 ‘mode’ 部分的讨论）
- v0ndarray，可选
迭代的起始向量。默认值：随机
- ncvint，可选
生成的 Lanczos 向量的数量 ncv 必须大于 k 且小于 n；建议
ncv > 2*k。默认值：min(n, max(2*k + 1, 20))- whichstr [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LA’ | ‘SA’ | ‘BE’]
如果 A 是复厄米特矩阵，‘BE’ 无效。要查找的 k 个特征向量和特征值
‘LM’ : （绝对值）最大的特征值。
‘SM’ : （绝对值）最小的特征值。
‘LA’ : （代数）最大的特征值。
‘SA’ : （代数）最小的特征值。
‘BE’ : 从谱的两端各取一半 (k/2)。
当 k 为奇数时，从高端多返回一个 (k/2+1)。当 sigma != None 时，‘which’ 指的是移位的特征值
w'[i]（详见上文 ‘sigma’ 部分的讨论）。ARPACK 通常更擅长查找大值而不是小值。如果需要小特征值，请考虑使用移位反演模式以获得更好的性能。- maxiterint，可选
允许的最大 Arnoldi 更新迭代次数。默认值：
n*10- tolfloat
特征值的相对精度（停止准则）。默认值 0 表示机器精度。
- MinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子
详见上文 M 中的说明。
- OPinvN x N 矩阵、数组、稀疏矩阵或线性算子
详见上文 sigma 中的说明。
- return_eigenvectorsbool
除了特征值之外，还返回特征向量（True）。此值决定了特征值的排序顺序。排序顺序还取决于 which 变量。
- 对于 which = ‘LM’ 或 ‘SA’
如果 return_eigenvectors 为 True，特征值按代数值排序。
如果 return_eigenvectors 为 False，特征值按绝对值排序。
- 对于 which = ‘BE’ 或 ‘LA’
特征值总是按代数值排序。
- 对于 which = ‘SM’
如果 return_eigenvectors 为 True，特征值按代数值排序。
如果 return_eigenvectors 为 False，特征值按绝对值降序排序。
- modestring [‘normal’ | ‘buckling’ | ‘cayley’]
指定移位反演模式的策略。此参数仅适用于实值 A 和 sigma != None 的情况。对于移位反演模式，ARPACK 在内部求解特征值问题
OP @ x'[i] = w'[i] * B @ x'[i]，并将生成的 Ritz 向量 x’[i] 和 Ritz 值 w’[i] 转换为问题A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]所需的特征向量和特征值。模式如下：- ‘normal’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ M, B = M, w’[i] = 1 / (w[i] - sigma)
- ‘buckling’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ A, B = A, w’[i] = w[i] / (w[i] - sigma)
- ‘cayley’
OP = [A - sigma * M]^-1 @ [A + sigma * M], B = M, w’[i] = (w[i] + sigma) / (w[i] - sigma)
模式的选择将影响关键字 ‘which’ 选择的特征值，并且还可能影响收敛的稳定性（讨论详见 [2]）。
- 抛出:
- ArpackNoConvergence
当未达到请求的收敛时。
当前已收敛的特征值和特征向量可在异常对象的
eigenvalues和eigenvectors属性中找到。
备注
此函数是 ARPACK [1] SSEUPD 和 DSEUPD 函数的包装器，这些函数使用隐式重启 Lanczos 方法查找特征值和特征向量 [2]。
参考文献
[1]ARPACK 软件，opencollab/arpack-ng
[2]R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, and C. Yang, ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods. SIAM, Philadelphia, PA, 1998.
示例
>>> import numpy as np >>> from scipy.sparse.linalg import eigsh >>> identity = np.eye(13) >>> eigenvalues, eigenvectors = eigsh(identity, k=6) >>> eigenvalues array([1., 1., 1., 1., 1., 1.]) >>> eigenvectors.shape (13, 6)